Выполнение типового расчета Тригонометрические и гиперболические подстановки Физические приложения интегралов Примеры вычисления производной

Кафедра высшей математики

Возрастание и убывание функций

Теорема 1. (Достаточное условие возрастания функции)

Если функция f(x) непрерывна на отрезке [a, b] и дифференцируема на интервале (a, b), причем (x) > 0 для любого x(a, b), то эта функция возрастает на отрезке [a, b].

Доказательство. Функция возрастает на [a, b], если

x1, x2[a,b] (x1 < x2   f(x1) < f (x2)).

Пусть x1, x2 – любые два числа из [a, b], такие, что x1 < x2. Докажем, что
f(x1) < f(x2).

По теореме Лагранжа о конечных приращениях f (x2) – f (x1) = (с)(x2 – x1), где c удовлетворяет неравенству x1 < c < x2. По условию теоремы (с) > 0, следовательно, f(x2) – f (x1) > 0, т.е. f (x1) < f (x2). Теорема доказана.

Теорема 2. (Необходимое условие возрастания функции)

Если функция f(x) непрерывна и возрастает на отрезке [a, b], дифференцируема на интервале (a, b), то (x)  0 для любого x из интервала (a, b).

Доказательство. Пусть x0(a, b). Дадим аргументу приращение x, тогда функция получит приращение f(x0 + x) – f(x0). Функция f(x) возрастает на [a, b], поэтому, если x > 0, то f(x0 + x) – f(x0) > 0, а если x < 0, то f(x0 + x) – f(x0) < 0. В обоих случаях > 0, а потому  0, т.е. (x0)  0. Теорема доказана.

Аналогичные теоремы справедливы для убывающей функции, только условие
(x) > 0 заменяется на условие: (x) < 0.

Сформулируйте и докажите достаточное условие и необходимое условие для убывания функции.


Пример. Исследовать на монотонность (т.е. возрастание и убывание) функцию:

f (x) = x3 – 3x.

Решение. (x) = 3x2 – 3 = 3(x2 – 1).

Неравенство (x) > 0, т.е. 3(x2 – 1) > 0, справедливо для x < –1 и для x >1. Следовательно, функция f(x) возрастает на интервалах (–, –1) и (1, +). Поскольку неравенство (x) < 0, т.е. 3(x2 – 1) < 0 справедливо для x(–1, 1), то на интервале (–1, 1) функция f(x) убывает.

Построим график функции y = x3 – 3x (рис. 2.10), используя ее значения в точках:

x1 = –1, x2 = 1, x3 = 0, x4 = –, x5 =:

 f(–1) = 2, f(1) = –2, f(0) = 0, f(–) = 0, f() = 0.

Заметим, что в точке x1 = –1 значение f(–1) больше, чем значение f(x) в соседних с x1 точках. Говорят, что в точке x1 функция имеет максимум (локальный максимум). Аналогично,  f(x2) < f(x) для x, близких к x2. В этом случае говорят, что в точках x2 функция имеет минимум (локальный минимум).

 

Экстремумы функции

Дадим точные определения точкам максимума и минимума функции. Пусть функция f(x) определена на промежутке X и x0 X.

Говорят, что в точке x0 функция f(x) имеет максимум, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) < f(x0).

Точка x0 называется точкой минимума, если существует такая окрестность точки x0, что для любого x из этой окрестности f(x) > f(x0).

Точки максимума и минимума называются точками экстремума.

Замечание. Точки экстремума всегда являются внутренними точками промежутка, т.е. не могут быть его концом.

Теорема 1. (Необходимое условие экстремума)

Если функция f(x) дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и
x0 – точка экстремума, то (x0) = 0.

Доказательство. Пусть для определенности x0 – точка максимума, тогда найдется окрестность (x0 – , x0 + ) точки x0 такая что, для любого x(x0 – , x0 + )
f(x) < f(x0), т.е. f(x0) – наибольшее значение функции f(x) на интервале (x0 – , x0 + ). Тогда по теореме Ферма (разд. 2.9) (x0) = 0. Теорема доказана.

Следствие. Если x0 – точка экстремума, то (x0) = 0 или (x0) не существует.

В качестве примера приведем функцию f(x) = |x| (рис. 2.11).

Очевидно, что x0 = 0 является точкой минимума, так как |0| < |x| для любого x  0. А в точке x0 = 0 производной f'(0) не существует.

Если f'(x0) = 0 или f'(x0) не существует, то точку x0 будем называть критической (или подозрительной на экстремум). Критическая точка может и не быть точкой экстремума.

Теорема 2. (Первое достаточное условие экстремума)

Пусть функция f (x) определена и непрерывна в точке x0 и некоторой ее окрестности, дифференцируема в этой окрестности, за исключением, может быть, точки x0, и x0 – критическая точка для функции f (x) (т.е. (x0) = 0 или (x0) не существует). Тогда: 1) если при x < x0 производная (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, то x0 – точка максимума; 2) если при x < x0: (x) < 0, а при x > x0: (x) > 0, то x0 – точка минимума.

Доказательство. Пусть для x < x0: (x) > 0, а для x > x0: (x) < 0, т.е. при переходе через точку x0 слева направо производная меняет знак с + на –. Тогда слева от x0 функция f(x) возрастает, а справа от x0 функция f(x) убывает, следовательно, x0 – точка максимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы.

Теорема 3. (Второе достаточное условие экстремума).

Пусть функция f (x) дважды дифференцируема в точке x0 и некоторой ее окрестности и пусть (x0) = 0. Если (x0) > 0, то x0 – точка минимума. Если (x0) < 0, то x0 – точка максимума.

Доказательство. Пусть (x0) = 0 и (x0) > 0. Покажем, что x0 – точка минимума:

f''(x0) = =  > 0.

Тогда в некоторой окрестности точки x0 выполняется неравенство
  > 0. Отсюда, если x < 0, то (x0 + x) < 0, а если x > 0, то (x0 + x) > 0, т.е. слева от точки x0 функция f(x) убывает, а справа – возрастает, это означает, что
x0 – точка минимума. Аналогично доказывается вторая часть теоремы для (x0) < 0.

При исследовании функции на монотонность и экстремумы бывает удобно результаты заносить в таблицу. Как это делается, покажем в следующем примере.

Пример 1. Исследовать на монотонность и экстремумы функцию f(x) = x2e–x. Построить ее график.

Решение. Эта функция определена и непрерывна на всей числовой оси (–, ). Найдем производную: (x) = 2xe–x – x2e–x = xe–x(2 – x). Тогда (x) = 0 при x1 = 0 и
x2 = 2, где x1, x2 – критические точки. Эти точки разбивают всю числовую ось на три интервала: (–; 0), (0; 2), (2; +). Составим таблицу, в первой строке которой поместим указанные точки и интервалы, во второй строчке – сведения о производной (x) в точках и на интервалах, а в третьей – поведение данной функции f(x):

x

x1 = 0

(0, 2)

x2 = 0

(x)

(x) < 0

0

(x) > 0

0

(x) < 0

f(x)

убывает

возрастает

убывает

Определим знак (x) на каждом из интервалов: если x(–, 0), то (x) < 0; если x(0, 2), то (x)>0; если x(2, +), то (x) < 0. Отсюда определяется поведение функции f(x): на первом и последнем интервалах f(x) убывает, а на втором – возрастает. Отсюда следует, что x1 = 0 является точкой минимума, yмин(0) = 0, а x2 = 2 – точка максимума, yмакс(2) = 0,54. Для построения графика заметим, что f (x) > 0 для всех x, отличных от нуля, и

x2e–x = 0,

x2e–x = , f(–1) = e  2,7.

График этой функции изображен на рис. 2.12.

Отметим, что дальнейшее исследование этой функции (см. следующий раздел) позволит уточнить ее график.

Пример 2. Исследовать на экстремум функцию f (x) = x + .

Решение. Область определения функции (-, 0)(0, +), в каждом из этих интервалов функция непрерывна. Найдем f'(x) и f''`(x): f `(x) = 1 – , f''(x) = . Теперь найдем критические точки функции, для этого решим уравнение f'(x) = 0:
1 –   = 0, отсюда x1 = –2, x2 = +2 – критические точки. Используем теорему 3 для исследования критических точек, для этого вычислим f''(x) в точках x1 и x2. Так как
f''(–2) = = –1< 0, то x1 = –2 является точкой максимума fмакс(–2) = –2 – = –4. Для x2: f''(2) =  = 1 > 0, поэтому x2 = 2 – точка минимума, fмин(2) = 2 + = 4.

Таким образом, функция f(x) = x +   имеет максимум при x1 = –2, f(–2) = –4 и имеет минимум при x2 = 2, f(2) = 4.

Известно, что если функция непрерывна на отрезке, то она достигает на этом отрезке своего наименьшего значения и своего наибольшего значения (см. гл. 1). Иногда требуется найти наименьшее или наибольшее значение такой функции.

Если на отрезке [a, b] есть точки минимума и максимума функции f(x) (рис. 2.13), то наименьшее значение функция будет принимать либо в одной из точек минимума, либо на конце отрезка [a, b]. Аналогично для наибольшего значения.

Алгоритм нахождения наибольшего и наименьшего значений функции f(x), непрерывной на отрезке:

найти критические точки x1, x2, ..., xn функции f(x), принадлежащие отрезку ;

вычислить значения функции f (x) в критических точках и на концах отрезка;

из этих значений выбрать самое большое и самое малое, эти числа и будут наибольшим и наименьшим значениями f(x) на отрезке [a, b].

Пример 3. Найти наименьшее и наибольшее значения функции:

f(x) = x4 – 2x2 + 5 на отрезке [–2, 2].

Решение. Найдем критические точки для данной функции:

(x) = 4x3 – 4x = 4x(x2 – 1);

(x) = 0 при x1 = 0, x2 = –1, x3 = +1, все три критические точки принадлежат данному отрезку. Вычислим значения функции в точках –2, –1, 0, 1, 2:

f(–2) = (–2)4 – 2(–2)2 + 5 = 16 – 8 + 5 = 13, f(–1) = 1 – 2 + 5 = 4,
f(0) = 5, f(1) = 4, f(2) =13.

Из найденных значений самое малое число 4, а самое большое число 13.

Итак, наименьшее значение функции равно 4, наибольшее значение равно 13.

 


На главную