Выполнение типового расчета Тригонометрические и гиперболические подстановки Физические приложения интегралов Примеры вычисления производной

Кафедра высшей математики

Понятие производной по направлению (вывод)

Рассмотрим в области D функцию U=U(x,y,z) и (.) M(x,y,z). Проведем из М вектор S, направляющие косинусы которого cosa, cosb, cosg, где a,b,g-соотв-ие углы. На векторе S на расстоянии ∆S от его начала рассмотрим (.) М1(x+∆x, y+∆y, z+∆z). Таким образом ∆s=. Будем предполагать, что функция U(x,y,z) непрерывна имеет непрерывные производные по своим аргументам в области D. Полное приращение функции представим в виде: ∆U= (1), где Е1, Е2,Е3 – стремятся к 0, при ∆s→0. Разделим все части равенства (1) на ∆s: ∆U/∆s= (2). Очевидно, что , , . Следовательно, равенство (2) можно переписать так: =(3).

Предел отношения при ∆s→0 называют производной от функции U=u(x,y,z) в точке (x,y,z) по направлению вектора S и обозначается  т.е: =таким образом, переходя к пределу в равенстве (3) получим:

= (5). Из формулы (5) следует, что зная частные производные, легко найти производную по любому направлению S.

Замечание: Сами частные производные являются частным случаем производной по направлению.


29. Понятие градиента. Свойства градиента (3 свойствадокказать)

О. Вектор grad U(x,y,z)=(du/dx)|m0*i+(du/dy)|m0*j+(du/dz)|m0*k,( где i,j,k – орты осей координат) называется градиентом U=U(x,y,z ) в M0(x,y,z).

grad U(x,y,z)= =(du/dx;du/dy;du/dz)

Свойства:

1)Производная по направлению S от функции U(x,y,z) в точке M равна проекции градиента в точке М по направлению S.

Док-во

Обозначить через S0 единичный вектор вдоль оси S, тогда

S0=cosa*I+cosb*j +cosg*k; du/ds=(gradU, S0); (gradU, S0)=|gadU|*|s|*cos(gradU^S0)=Прs0gradU =du/ds

Замечание:если U(x,y,z)-const-повер-т уровня, то вектор grad U = du/dx;du/dy;du/dz будет задаватся координатами вектора нормали(grad является вектором нормали в т.М к пов-ти уровня)

2)Производная в данной точки по направлению S имеет наибольшее значение, если направление S совпадает с направлением градиенты. Это наибольшее знач. Совпадает с модулем градиенты.

Док-во

Du/ds=|gradU|*cosφ, φ=(); max du/ds|φ=0 =|gradU|

3)Производная по направлению вектора касательного к поверхности уровня=0.

Док-во

  U(x,y,z)=C; du/ds=|gradU|* cosφ, φ=π/2, следовательно du/ds=0;

30. Понятие частной производной высшего порядка. Дифференциалы высшего порядка.

Пусть задана функция двух переменных z=f(x,y): dz/dx=df/dx=f’x(x,y); dz/dy=f’y(x,y) даны частные производные 1-го порядка, они в общем случае являются функциями переменных х и у, поэтому можно найти частные производные 2-го порядка: d2f/dx2= f’’xx(x,y) 

d2f/dy2= f’’yy(x,y), d2f/dydx= f’’yx(x,y); d2f/dxdy= f’’xy(x,y); Производные 2-го порядка можно снова дифференцировать как по х так и по у. Получим частные производные 3-го порядка, их будет 8 т.д.вывод:частные производные n-го порядка, есть 1-ая производная от (n-1) порядка.

 Дифференциалы высшего порядка. Полным дифференциалом 2-го порядка функции z=f(x,y) называется полный дифференциал 1-го порядка.

d2Z=D(Dz)

Dz=(dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy; D2z=D((dz/dx)*Dx+(dz/dy)*Dy)=(d/dx)(.)Dx+(d/dy)(.)Dy=d2z/dx2(Dx)2+ (d2z/dydx)*(DyDx)+ +d2z/dy2(Dy)2+(d2z/dxdy)*(DyDx)= d2z/dx2(Dx)2+2(d2z/dydx)*(DyDx)+ d2z/dy2(Dy)2

Дифференциал 3-го порядка: D3z=d(d2z)= d3z/dx3(Dx)3+3(d3z/dx2dy)*(Dx)2(Dy)+ 3(d3z/dy2dx)*(Dy)2(Dx)+ d3z/dy3(Dy)3.Вывод диф-л К-ого порядка есть Dkz=D(Dk-1z)


Формула Тейлора ФНП (теорема без док) (×)

Для функции одной переменной формулу Тейлора запишем в виде:

(1):∆f(x0)=df(x0)+(1/2!)*d2f(x0)+(1/3!)d3f(x0)+…+dnf(x0)+Rn(x), где Rn(x)=(f(n+1)(ζ)*∆xn+1)/(n+1)-в форме Лагранджа; ζ=x0+∆x*(н);  0< (н)<1 или Rn=O((x-x0)n)-в форме Пиано.

Разложение (1) имеет место и для функции нескольких переменных. Рассмотрим функции U=f(x,y), непрерывную в области G вместе со своими частными производными для (n+1)-го порядка включительно. Пусть точка Mo(xo,yo) – некоторая внутренняя точка области G. Возьмем произвольную соседнюю точку M(x0+∆x; y0+∆y) из G и рассмотрим приращение функции f(x,y) в точке Mo. ∆f(x0,y0)=f(x0+∆x; y0+∆y)- f(x0,y0).

задачу о разложении по формуле Тейлора функции двух переменных сведем к разложению функции одной переменной.

Для этого фиксируем точку M0(x0+∆x; y0+∆y). Рассмотрим произвольную точку P(x,y), лежащую на отрезке МоМ и обозначим через t отношение длинны отрезка МоP к МоМ.

t=M0P/M0M=(x-x0)/∆x= (y-y0)/∆y;

x=x0+∆xt

y=y0+∆yt

введем функцию φ(t)=f(p)=f(x,y)=f(x0+∆xt; y0+∆yt)

φ(0)=f(x0,y0)=f(M0)

φ(1)=f(x0+∆x,y0+∆y)=f(M)

∆f(x0,y0)=f(M)-f(M0)= φ(1)- φ(0)

Т.к. функция f(x,y) имеет в области G непрерывные частные производные до (n+1) порядка включая, то φ(t) как сложения функция по t, имеет непрерывные производные по переменной t до (n+1)-ого порядка для любого t принадлеж. [0,1]можно разложить функцию φ(t) по формуле Тейлора (1).

Теорема: если ф-ция U=f(x1,x2,…,xn)- диф-ма (n+1) раз в некот-ой E-окрестности т.М0(x10, x20,…, xn0) то М0(x10+rx1, x20+rx2,…, xn0+rxn) справедлоиво равенство

f(x10+rx1, x20+rx2,…, xn0+rxn)= f(x10, x20,…, xn0)+dU|m0+1/2!d2U|m0+…+1/n!dnU|m0+d(n+1)U|m0/(n+1)!(*)

(*)есть формула Тейлора от ФНП


На главную