Математика Примеры вычисления производной задачи

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Найти производную функции .

Производная показательной и логарифмической функции

Предполагается, что основание a показательной и логарифмической функции больше нуля и не равно единице: a > 0, a ≠ 1. Производная показательной функции y = ax с основанием a определяется формулой

где ln a - натуральный логарифм a, т.е. логарифм a по основанию е

Вычислить производную функции

Производные гиперболических функций легко находятся, поскольку гиперболические функции являются комбинациями ex и e−x.

Вычислить производную функции .

Производная степенной функции

Вычислить производную функции .

Вычислить производную функции .

Производная произведения и частного функций

Вычислить производную y(x)=tg x используя формулу производного частного.

Производные шести тригонометрических функций и, соответственно, шести обратных тригонометрических функций определяются следующими формулами (рядом указана область определения каждой функции)

Продифференцировать функцию .

Вывести формулу для производной арксинуса.

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Найти представление в виде степенного ряда функции .

Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

Найти производную функции

Производная суммы равна сумме производных

Производная произведения функций

Производная частного функций

Найти производную функции

Найти производную функции

Определение производной

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки. Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t), где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути.

Задачи, приводящие к понятию производной Рассмотрим пример. Вычислим мгновенную скорость материальной точки, свободно падающей под действием силы тяжести.

Механический и геометрический смысл производной. Уравнения нормали и касательной к графику функции.

Примеры вычисления производной

Понятие дифференцируемости функции

Связь между дифференцируемостью и непрерывностью функции.

Геометрический смысл дифференциала Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0 и принимает в этой точке значение y0= f(x0). Рассмотрим график этой функции

Пример. Найти производную функции y = x5. Найти производную функции y=sin x.

Производная обратной функции

Производная сложной функции

Рассмотрим примеры вычисления производной сложной функции. Найти производную функции . Найти производную функции .

Рассмотрим несколько примеров применения основных правил вычисления производной. Пример . Найти производную функции  .

Логарифмическое дифференцирование

Односторонние производные

Производные высших порядков

Свойства дифференцируемых функций Возрастание и убывание функции в точке и на интервале

Локальный максимум и локальный минимум функции

Теорема Ролля Теорема Лагранжа

Теорема Коши Следующую теорему можно рассматривать как обобщение теоремы Лагранжа.

Условие постоянства функции на интервале

Условия монотонности функции на интервале Рассмотрим сначала достаточные условия строгой монотонности функции на интервале.

Отыскание точек локального экстремума функции Как следует из теоремы 17.1, производная дифференцируемой функции в точке локального экстремума этой функции равна нулю. Поэтому функция, дифференцируемая на некотором интервале, может иметь на этом интервале локальный экстремум только в тех точках, где её производная равна нулю. Такие точки, т.е. точки, в которых производная функции равна нулю, называются точками возможного экстремума или стационарными точками

Исследование функций с помощью производных Рассмотрим примеры нахождения локальных экстремумов с помощью производной.

Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции на отрезке Направление выпуклости графика функции. Точки перегиба

Асимптоты графика функции Найти асимптоты графика функции .

 
Программирование на языке ассемблера