Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Определение производной

Рассмотрим функцию f(x), область определения которой содержит некоторый открытый интервал вокруг точки x0. Тогда функция f(x) является дифференцируемой в точке x0, и ее производная определяется формулой

Для производной используются обозначения: Для нахождения производной функции f(x) в точке x0 на основе определения следует выполнить следующие действия:

Пример Используя определение, найти производную функции .

Решение. По определению производной

Вычислим двойной интеграл

 

по области D, ограниченной линиями y=x и y=x2. Область D

изображена на рис.13. Интегрируя сначала по y, а потом по x,

получаем

Правильность результата можно проверить, изменив порядок интегрирования :

Использование определённого интеграла в приложениях часто происходит по одной и той же схеме, поэтому для таких случаев мы изложим общие соображения, позволяющие сохранить подход для других задач, не встречающихся в учебниках, а также сэкономить время для их решения.
Механический и геометрический смысл производной