Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Производные гиперболических функций

Пример Вычислить производную функции .

Решение. Производная постоянной величины равна нулю.

Пример Найти производную функции .

Решение. По правилу суммы Вынося постоянные множители за знак производной и вычисляя производные степенных функций, получаем

  Пример.

 Пример.

  Пример.

  Пример.

Рассечем рассматриваемое цилиндрическое тело произвольной плоскостью, параллельной плоскости Oyz, т.е. x=const,  (рис). В сечении мы получим криволинейную тра­пецию PMNR, площадь которой выражается интегралом от функции , рассматри­ваемой как функция одной пе­ременной у, причем у изменя­ется от ординаты точки P до ординаты точки R. Точка P есть точка входа прямой х =const (в плоскости Оху) в область D, а R - точка ее выхода из этой области. Из уравнений линий АВС и АЕС следует, что ординаты этих точек при взятом х соот­ветственно равны  и .

Следовательно, интеграл 

 

  дает выражение для площади плоского сечения PMNR. Ясно, что величина этого интеграла зависит от выбранного значения х; другими словами, площадь рассматриваемого поперечного сечения является некоторой функцией от х, мы обозначим ее через S(х):

Согласно формуле (**) объем всего тела будет равен интег­ралу от S(x) в интервале изменения .( При выводе формулы (**) мы считали, что S(*) есть геометриче­ская площадь поперечного сечения. Поэтому дальнейшие рассуждения справедливы, строго говоря, лишь для случая . Основываясь на уточненном геометрическом смысле двойного интеграла, нетрудно до­казать, на чем мы не будем останавливаться, что получающаяся формула для вычисления двойного интеграла будет верна для любых функций.

Локальный экстремум. Теоремы Ферма, Дарбу, Ролля. Теорема Лагранжа, следствия (и об отсутствии устранимых разрывов первого рода у производной).
Механический и геометрический смысл производной