Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Рассмотрим степенной ряд , имеющий радиус сходимости R > 0:

Функция является непрерывной функцией при |x| < R. Степенной ряд внутри интервала сходимости можно дифференцировать почленно. При этом производная степенного ряда выражается формулой Степенной ряд можно также почленно интегрировать на отрезке, который расположен внутри интервала сходимости. Следовательно, если − R < b < x < R, то выполняется равенство Если ряд интегрируется на отрезке [0; x], то справедлива формула:

Пример Показать, что

Решение. Рассмотрим сначала следующий степенной ряд: Данный ряд является геометрической прогрессией со знаменателем x. Поэтому, он сходится при |x| < 1. Его сумма равна . Подставляя − x вместо x, получаем Таким образом,
Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница и случай функций, заданных параметрически. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.
Механический и геометрический смысл производной