Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Найти разложение в степенной ряд для рациональной дроби .

Решение. Запишем функцию в виде Видно, что данное выражение является суммой бесконечно убывающей геометрической прогрессии с первым членом и знаменателем : Полученный степенной ряд сходится при |x| < 2.

Пример Найти разложение функции в степенной ряд.

Решение. Сначала разложим данную функцию на сумму простейших рациональных дробей, используя метод неопределенных коэффициентов. Так как , то можно записать Умножим обе части на . Получаем Система уравнений имеет решение: A = 1, B = 1. Следовательно, исходная рациональная дробь раскладывается следующим образом: В полученном выражении обе дроби представляют собой суммы бесконечно убывающих геометрических прогрессий: Таким образом, разложение исходной функции в степенной ряд имеет вид:
Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница и случай функций, заданных параметрически. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.
Механический и геометрический смысл производной