Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Дифференцирование и интегрирование степенных рядов

Пример Разложить в степенной ряд экспоненциальную функцию e x.

Решение. Рассмотрим ряд который сходится при всех x. Дифференцируя его почленно, получаем Следовательно, функция f (x) удовлетворяет дифференциальному уравнению f ' = f. Общее решение этого уравнения имеет вид f (x) = ce x, где c − константа. Подставляя начальное значение f (0) = 1, находим, что c = 1. Таким образом, полученное следующее разложение функции e x в степенной ряд:

Пример Разложить в степенной ряд гиперболический синус sh x.

Решение. Поскольку sh x = (e x + e−x )/2, то воспользуемся разложениями в степенной ряд функций e x и e−x. В предыдущем примере была получена формула Подставляя −x вместо x, находим, что Тогда гиперболический синус раскладывается в ряд следующим образом:

Вычислим объём тела, ограниченного цилиндрическими поверхностями  и плоскостью z=0 (рис.14,а).

Поверхность, ограничивающая тело сверху, имеет уравнение z=4-y2. Область интегрирования D получается в результате пересечения параболы  с линией пересечения цилиндра z=4-y2 и плоскости z=0, т.е. с прямой y=2 (Рис. 14, б). Ввиду симметрии тела относительно плоскости Oyz вычисляем половину искомого объёма :

Следовательно,  куб.ед.

Дифференцируемость функции. Дифференциал функции. Связь с производной. Непрерывность дифференцируемой функции. Геометрический смысл дифференциала. Инвариантность формы первого дифференциала. Производные и дифференциалы высших порядков. Формула Лейбница и случай функций, заданных параметрически. Неинвариантность формы дифференциалов порядка выше первого.
Механический и геометрический смысл производной