Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Задачи, приводящие к понятию производной

Задача вычисления скорости прямолинейного движения точки.

Пусть материальная точка движется по прямой, причём закон движения точки задаётся уравнением S=f(t), где S есть путь, пройденный точкой от момента начала движения до момента времени t. Предположим вначале, что точка движется равномерно, т.е. за равные отрезки времени проходит равные отрезки пути. Тогда скорость точки, v, постоянна и определяется соотношением

  v =

В этом соотношении ∆S есть отрезок пути, пройденный за промежуток времени ∆t. Так как скорость постоянна, то она не зависит от величины выбранного отрезка времени и от расположения этого отрезка на оси времени.

Предположим теперь, что точка движется неравномерно. Пусть S есть путь, пройденный точкой к моменту t0. Придадим времени t приращение ∆t. За промежуток времени ∆t точка пройдёт некоторый путь ∆S Отношение

 

даёт среднюю скорость точки, vср, за промежуток ∆t. Так как точка движется неравномерно, то полученная величина vср зависит как от момента t0, так и от величины ∆t. Для того, чтобы охарактеризовать движение точки в момент времени t0, необходимо обратиться к понятию мгновенной скорости. Из механики известно, что скорость тела не может измениться мгновенно, скачком – она меняется плавно. Это значит, что на малом промежутке времени ∆t скорость изменяется мало, иными словами, если выбрать промежуток ∆t достаточно малым, то на этом промежутке скорость можно считать приблизительно постоянной. Поэтому в любой момент времени на этом промежутке, в том числе в момент t0, скорость точки приближённо определяется отношением ∆S ∕ ∆t . В соответствии с этим мгновенная скорость точки в момент t0 определяется как предельное значение средней скорости при условии, что ∆t→0:

 v =

Таблица производных. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических и обратных к ним функций.
рашгард фото
Механический и геометрический смысл производной