Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Понятие дифференцируемости функции.

 Дифференциал.

Пусть, как и раньше, функция y=f(x) определена на интервале (a;b). Рассмотрим значение аргумента x0 a;b). Дадим аргументу приращение ∆x0, так чтобы выполнялось условие (x0+∆x)a;b). При этом функция получит приращение ∆y= f(x+∆x) ─ f(x).

Функция y=f(x) называется дифференцируемой в точке x0, если её приращение в этой точке можно представить в виде

 ∆y=A ∆x + o(∆x),

где  A - некоторая постоянная, а o(∆x) – величина более высокого порядка малости, чем ∆x, т.е.  = 0. Выражение A ∆x называется дифференциалом функции f(x) в точке x0, соответствующим приращению аргумента ∆x, и обозначается  символом dy или df(x0). При этом приращение независимой переменной ∆x называется дифференциалом аргумента и обозначается символом dx. В соответствии с этими обозначениями можно записать: dy = A dx. Если A≠0, то при ∆ x→0 второе слагаемое, т.е. o(∆x), является величиной более высокого порядка малости, чем первое слагаемое (A ∆x). При этом приращение функции ∆y определяется, главным образом, первым слагаемым, т.е. дифференциалом. Поэтому дифференциал называют главной частью приращения функции.

Связь между дифференцируемостью функции и существованием производной.

Докажем теорему, устанавливающую связь между дифференцируемостью функции и существованием у этой функции производной.

Теорема 6.1. Для того чтобы функция y=f(x) имела в произвольной точке x0 конечную производную, необходимо и достаточно, чтобы она была дифференцируема в этой точке.

Докажем необходимость. Предположим, что функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, т.е.  = (x0). Это значит, что при ∆x→0 (x0), или [(x0)] →0. Обозначим эту разность через  = (x0).

Тогда   =(x0) +, ∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0, т.е.  = 0. Обозначим (x0) через A. Тогда ∆y = A ∆ x + ∆ x. Докажем, что ∆ x есть o(∆x). Действительно,  .

Итак, ∆y = A ∆ x + o(∆x), т.е. функция y=f(x) дифференцируема в точке x0.

Докажем достаточность. Пусть функция y=f(x) дифференцируема в точке x0. Тогда в этой точке  ∆y = A ∆ x + o(∆x),   = A + .

(x0) =  = A +  = A + 0 = A, т.е. функция y=f(x) имеет в точке x0 конечную производную, равную A.

Таким образом, мы доказали, что если функция имеет в некоторой точке конечную производную, то она и дифференцируема в этой точке, и наоборот, если она дифференцируема, то она имеет конечную производную. Поэтому мы имеем право отождествить понятие дифференцируемости функции в данной точке с понятием существования у функции в данной точке производной.

В ходе доказательства теоремы 6.1 мы выяснили, что постоянная A в выражении для приращения ∆y  дифференцируемой функции y=f(x) в некоторой точке x совпадает с производной функции в этой точке (x): A = (x). В параграфе 5 мы установили соотношение между дифференциалом функции и дифференциалом независимого аргумента: dy = A dx.  Теперь это соотношение можно переписать в виде dy =(x) dx.

В ходе доказательства этой теоремы мы установили ещё и то, что приращение дифференцируемой функции можно представить в виде

∆y =(x0) ∆ x +∆ x, где →0 при ∆ x→0.

Таблица производных. Гиперболические функции, их свойства и графики. Производные гиперболических и обратных к ним функций.
Кольца ручной гравировкой источник.
Механический и геометрический смысл производной