Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Производная сложной функции.

Теорема 12.1 Пусть функция  u =φ(x) имеет в некоторой точке x0 производную , а функция  имеет в соответствующей точке  производную . Тогда сложная функция  в точке x0 также имеет производную, равную произведению производных функций  и φ(x):

 .

Коротко это соотношение можно записать в виде  .

Доказательство. Дадим аргументу  x приращение ∆ x. Тогда функция u =φ(x) получит приращение ∆ u, а функция  получит приращение ∆ y. Так как функции φ(x) и  имеют производные, то есть дифференцируемы, то , а , где  при  и  при .

Подставим выражение для ∆u в выражение  для ∆y:

.

Разделим это равенство на ∆x:

.

Если  , то   и (как следует из выражения для ∆ u) .  Но тогда и . Поэтому

=.

Теорема доказана.

Остановимся на одном частном случае применения этой теоремы. Пусть ,  где C – константа. Тогда .

Пусть, например, . Здесь . Введём обозначение , тогда .

Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Уравнения касательной и нормали. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций. Функция, заданная параметрически. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Механический и геометрический смысл производной