Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Логарифмическое дифференцирование

Пусть функция  дифференцируема в точке x и принимает в этой точке положительное значение. Тогда в окрестности этой точки существует функция   Эту функцию можно рассматривать как сложную функцию аргумента x с промежуточным аргументом y. Продифференцируем эту функцию:

.  Из этого соотношения можно выразить производную . Такая операция нахождения производной после предварительного логарифмирования называется логарифмическим дифференцированием. Существуют функции, производную которых можно найти только таким способом. К числу этих функций относится степенно-показательная функция , где  и  – дифференцируемые функции аргумента x. В качестве примера найдём производную этой функции с помощью логарифмического дифференцирования.

Прологарифмируем эту функцию: .

Продифференцируем обе части полученного равенства:  , отсюда (т.к. )

.

Раскрыв скобки, получим окончательную формулу

  (13.1)

Рассмотрим пример конкретной функции.

Пример. Найти производную функции .

Решение. Можно сразу воспользоваться формулой (13.1), но можно выполнить логарифмическое дифференцирование и непосредственно:

,

.

Бывают случаи, когда применение логарифмического дифференцирования не необходимо, но целесообразно. Пусть, например, . Конечно, в этом случае можно непосредственно воспользоваться правилами вычисления производной, но логарифмическое дифференцирование упрощает выкладки:

,

,

.

Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Уравнения касательной и нормали. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций. Функция, заданная параметрически. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Механический и геометрический смысл производной