Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Односторонние производные

Производная есть предел разностного отношения , причём этот предел не зависит от характера стремления  к нулю ( может быть как больше, так и меньше нуля, то есть может стремиться к нулю как справа, так и слева). Но в ряде случаев функция может не иметь в заданной точке производной, хотя в этой точке существует предел отношения   при условии, что   стремится к нулю только справа (правый предел) или только слева (левый предел), или же существует как правый, так и левый предел, но они не равны друг другу. Например, если функция определена на отрезке, а за пределами этого отрезка не определена, то на границах отрезка могут существовать только односторонние пределы. Такие односторонние пределы называются односторонними производными. А именно, если для рассматриваемой функции в заданной точке существует правый (левый) предел отношения , то этот предел называется правой (левой) производной. Правая производная функции   обозначается символом , левая – символом . То есть . Выше (см. § 7) уже говорилось о том, что функция  y== не дифференцируема в точке x = 0.  Однако в этой точке она имеет как правую, так и левую производную. Действительно,  .

Если функция  имеет в точке x производную, то очевидно, что она имеет в этой точке как правую, так и левую производную, причём .

Верно и обратное утверждение: если функция  имеет в точке x равные между собой правую и левую производную, то она имеет в этой точке и производную, причём

.

Производная функции, ее геометрический и механический смыслы. Уравнения касательной и нормали. Производная суммы, произведения, частного. Производная сложной и обратной функций. Функция, заданная параметрически. Дифференцирование функций, заданных параметрически.
Уличные козырьки источник.
Механический и геометрический смысл производной