Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Исследование функций с помощью производных

Условие постоянства функции на интервале

Рассмотрим достаточное условие постоянства дифференцируемой функции на интервале.

Теорема 21.1. Если функция  дифференцируема на интервале (a;b), и если всюду

на этом интервале , то функция  является постоянной на этом интервале.

Доказательство. Зафиксируем некоторую точку x0 из интервала (a;b) и возьмём любую другую точку  x из этого интервала. Отрезок [x0, x] целиком принадлежит

интервалу (a;b),  поэтому функция  дифференцируема, а, следовательно, и непрерывна всюду на отрезке [x0, x]. Это значит, что для функции  на отрезке [x0, x] выполнены условия теоремы Лагранжа. Следовательно, внутри отрезка [x0, x] найдётся такая точка c, что .  Но так как по условию всюду на интервале (a;b) , то и , а, следовательно, . Это равенство означает, что значение функции  в произвольной точке интервала (a;b) равно её значению в фиксированной точке x0, то есть функция   постоянна всюду на интервале (a;b).

Теорема доказана.

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и всех промежуточных значений. Точки разрыва монотонной функции, их счетность. Критерий непрерывности монотонной функции. Непрерывность обратной функции. Равномерная непрерывность функции, теорема Кантора.
Механический и геометрический смысл производной