Примеры вычисления производной

Математика примеры решения задач типового расчета

Направление выпуклости графика функции.

Асимптоты графика функции

Пример. Найти асимптоты графика функции .

Решение. Так как , то прямая  является для графика функции вертикальной асимптотой. При этом .

Найдём :

 .

Найдём теперь  :

,

следовательно, прямая   является для графика заданной функции наклонной асимптотой при . Точно также можно убедиться в том, что прямая  является наклонной асимптотой этого графика и при .

Пример . Убедимся в том, что график параболы  не имеет асимптот. Действительно,  , следовательно, график данной функции не имеет наклонной асимптоты. Так как функция непрерывна на всей действительной оси, то её график не имеет и вертикальных асимптот.

Односторонняя непрерывность. Точки разрыва функции, их классификация. Непрерывность функции на отрезке. Свойства непрерывных на отрезке функций: ограниченность, существование наибольшего, наименьшего и всех промежуточных значений. Точки разрыва монотонной функции, их счетность. Критерий непрерывности монотонной функции. Непрерывность обратной функции. Равномерная непрерывность функции, теорема Кантора.
Механический и геометрический смысл производной