Физические приложения интегралов

Математика примеры решения задач типового расчета

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем подстановку Получаем

Здесь для упрощения интеграла мы использовали формулу .

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применим гиперболическую подстановку x = a sh t, dx = a ch tdt. Поскольку , интеграл равен

Пример. Найти неопределенный интеграл .

Сделаем замену t = sinx, dt = cosxdt.

  Пример.

Замена   Получаем:

 Ниже будут рассмотрены другие примеры применения метода подстановки для различных типов функций.

Статические моменты и центр тяжести пластинки.

Перейдём теперь к вычислению статических моментов рассматриваемой пластинки относительно осей координат. Для этого сосредоточим в точках массы соответствующих частич­ных областей и найдем статические моменты полученной сис­темы материальных точек :

Переходя к пределу при обычных условиях и заменяя интегральные суммы интегралами, получим

Находим координаты центра тяжести :

Если пластинка однородна, т.е.  то формулы упрощаются :

  где S - площадь пластинки.

Понятие определенного интеграла является одним из важнейших в математике, так как это связано с многочисленными применениями интеграла к задачам как в математике, так и, например, в физике, биологии, химии, экономике. Именно практическая значимость определенного интеграла и подтолкнула математиков к поиску обобщений его (например, интегралы Стилтьеса, Лебега).
Тройные интегралы в декартовых координатах