Физические приложения интегралов

Математика примеры решения задач типового расчета

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Для нахождения этого интеграла используем замену . Применив соотношение , получаем Выразим sin t через x: Следовательно, интеграл равен

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Сделаем следующую подстановку: . Следовательно, Тогда интеграл равен Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношений находим ответ:

Рассмотрим метод интегрирования элементарных дробей вида III.

Интеграл дроби вида III может быть представлен в виде:

Здесь в общем виде показано приведение интеграла дроби вида III к двум табличным интегралам.

Рассмотрим применение указанной выше формулы на примерах.

 Пример.

  Вообще говоря, если у трехчлена ax2 + bx + c выражение b2 – 4ac >0, то дробь по определению не является элементарной, однако, тем не менее ее можно интегрировать указанным выше способом.

Понятие определенного интеграла является одним из важнейших в математике, так как это связано с многочисленными применениями интеграла к задачам как в математике, так и, например, в физике, биологии, химии, экономике. Именно практическая значимость определенного интеграла и подтолкнула математиков к поиску обобщений его (например, интегралы Стилтьеса, Лебега).
Тройные интегралы в декартовых координатах