Физические приложения интегралов

Математика примеры решения задач типового расчета

Тригонометрические и гиперболические подстановки

Пример Найти интеграл .

Решение. Применим подстановку Тогда Выразим и через x: Таким образом,

Пример Вычислить интеграл .

Решение. Применив тригонометрическую подстановку , получаем Теперь сделаем замену . Интеграл примет вид Разложим подынтегральную функцию на простейшие дроби и воспользуемся методом неопределенных коэффициентов для вычисления интегралов. Определим коэффициенты. Тогда Следовательно, подынтегральное выражение записывается в виде Вычислим исходный интеграл. Возвращаясь к первоначальной переменной x с помощью соотношения находим окончательный ответ:

Понятие определенного интеграла является одним из важнейших в математике, так как это связано с многочисленными применениями интеграла к задачам как в математике, так и, например, в физике, биологии, химии, экономике. Именно практическая значимость определенного интеграла и подтолкнула математиков к поиску обобщений его (например, интегралы Стилтьеса, Лебега).
Тройные интегралы в декартовых координатах