Физические приложения интегралов

Математика примеры решения задач типового расчета

Тройные интегралы в цилиндрических координатах

Пример Используя цилиндрические координаты, найти значение интеграла

Рис.6
Рис.7
Решение. Область интегрирования U изображена на рисунке 6. Ее проекция на плоскость Oxy представляет собой круг x2 + y2 = 22 (рисунок 7). Новые переменные в цилиндрических координатах будут изменяться в пределах Подставляя x = ρ cos φ и y = ρ sin φ, найдем значение интеграла:

Моменты инерции пластинки.

Моментом инерции материальной точки Р с массой m относительно какой-либо оси называется произведение массы на квадрат расстояния точки Р от этой оси.

Метод составления выражений для моментов инерции пластинки относительно осей координат совершенно такой же, какой мы применяли для вычисления статических моментов. Приведем поэтому только окончательные результаты, считая, что :

Отметим еще, что интеграл  называется центробежным моментом инерции; он обозначается .

В механике часто рассматривают полярный момент инерции точки, равный произведению массы точки на квадрат ее расстояния до данной точки - полюса. Полярный момент инерции пластинки относительно начала координат будет равен

Формула Гаусса-Остроградского. Дивергенция векторного поля, ее свойства, инвариантное определение и физический смысл. Формула Стокса. Ротор векторного поля, его свойства, инвариантное определение и физический смысл. Формула Гаусса-Остроградского
Тройные интегралы в декартовых координатах