Консольная балка Расчет на прочность Формула Мора Концепция устойчивости Практический инженерный метод расчёта Продольно-поперечный изгиб упругого стержня Энергетический метод Определение удлинений и сдвигов Механизм разрушения

Сопромат расчеты на прочность

2.1.4. Расчеты на прочность и жесткость при растяжении и сжатии Основные понятия о прочности, надежности и долговечности конструкций. Различные взгляды на пределы нагружения. Методы расчета по допускаемым напряжениям, разрушаемым нагрузкам и предельным состояниям. Коэффициенты запасы по напряжениям и нагрузкам. Технико-экономические факторы, влияющие на значение коэффициента запаса.

Расчёт статически неопределимых систем методом сил

 Наиболее распространённым методом раскрытия статически неопределимых систем является метод сил. Он заключается в том, что система освобождается от лишних связей и их действие заменяется лишними неизвестными, которые принимаются за основные неизвестные задачи (рис.8.12, 8.13). Стержневая система, получаемая из заданной путём отбрасывания лишних связей и внешней нагрузки называется основной (рис.8.9,б, 8.10,б).

 

 а) б) в)

 Рис.8.12

 Основных систем может быть несколько. Основная система с приложенными лишними неизвестными Xi  и внешней нагрузкой Р носит название эквивалентной системы. Условие эквивалентности этой заданной системы состоит в том, что величины лишних неизвестных должны быть подобраны так, чтобы перемещения системы в точности соответствовали тем ограничениям, которые накладываются на неё отброшенными связями.

 Рис.8.13

 Для рамы на рис.8.12. горизонтальное и вертикальное линейные перемещения точки А равны нулю. Взаимные линейные и угловые обобщённые перемещения краёв разреза В-В также равны нулю. Аналогично для балки на рис.8.13. Таким образом, обобщённые перемещения:

 , (8.1)

где i = 1, 2, … , 5.

 Пользуясь принципом независимости действия сил,(8.1) запишем в виде:

 . (8.2)

 Пользуясь законом Гука, каждое из перемещений  от силы Xj представим в виде:

  , (8.3)

где - коэффициент пропорциональности, называемый коэффициентом влияния. Его геометрический смысл легко выяснить, полагая Xj = 1. В этом случае . Следовательно, - это перемещение в направлении

i-ой единичной силы от действия единичной силы, приложенной в направлении j.

 Учитывая (8.3), выражение (8.2) запишем в виде:

  (8.4) 

или в развёрнутом виде:

 

 

 Полученные уравнения (8.4) носят название канонических уравнений метода сил. Их количество зависит от степени статической неопределимости стержневой системы.

 Коэффициенты влияния  находятся с помощью формулы Мора (7.18), где внутренние силовые факторы от внешней нагрузки следует заменить таковыми от единичной силы Xj = 1:

  (8.5) 

 Из (8.5) следует, что . Перемещения  определяются обычным путем с помощью формулы Мора (7.18).

  Если возникает необходимость определения перемещения некоторой точки С статически неопределимой системы, то в этой точке в направлении искомого перемещения следует приложить единичную силу  (рис.8.14,а).  а) б)

 Рис.8.14

 Если силу  приложить к заданной системе (рис.8.12,а), то в таком случае вновь возникает задача о раскрытии статической неопределённости. Эта трудность устраняется, если работать с эквивалентной системой. В этом случае единичная сила прикладывается к основной системе (рис.8.14,б).Указанный способ часто используется для, так называемой, деформационной проверки правильности построенных эпюр. В эквивалентной системе определяются заведомо известные перемещения некоторых точек. Обычно это перемещения тех точек, где были отброшены лишние связи. Если полученный результат совпадает с ожидаемым, то это подтверждает правильность построенных эпюр.

Определение напряжений и перемещений в витых пружинах Одним из простых примеров применения теоремы Кастилиано к определению перемещений является расчёт винтовой пружины. 

Применение общих принципов и методов сопротивления материалов к расчёту стержневых систем. Стержневые системы и их классификация В сопротивлении материалов и в строительной механике при расчёте конструкций вместо них самих рассматриваются расчётные схемы или механические модели. В таких расчётных схемах стержни соединяются друг с другом связями в виде шарниров или жёстких узлов.

Статически определимые и неопределимые стержневые неизменяемые системы Кинематически неизменяемая стержневая система называется статически определимой если все внутренние силовые факторы можно найти из независимых уравнений статики. В противном случае система называется статически неопределимой. Степенью статической неопределённости называется разность n между числом неизвестных внутренних силовых факторов, опорных реакций и числом независимых уравнений статики.

Примеры расчёта статически неопределимых стержневых систем по методу сил Пример.  Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р

Пример Рассмотрим дважды статически неопределимую балку. Раскроем её статическую неопределённость методом сил.

Расчет на прочность. Подбор сечения.

Из эпюры Эτ d3 видно, что опасными являются сечения на участке АВ, где дей-ствует наибольшее напряжение

Условие прочности при кручении имеет вид:

  где [τ] – допускаемое касательное напряжение.

Примем для материала Д16 [τ] = 0,5 [σ] = 0,5∙ 225,6 = 112,8 МПа.

Тогда условие прочности примет вид:

.

Из условия прочности находим оптимальное значение диаметра:

Полученное значение диаметра округляем и принимаем (из ряда Ra 40 по ГОСТ 6636-86) d = 100 мм.

Определим напряжения, действующие в сечениях при выбранном значении d.

Участок АВ:

Участок ВС:

Участок CD:

По полученным данным строим эпюру действующих на валу касательных напряжений Эτ (рис 2.2).

Основные виды задач в сопротивление материалов: проверка прочности, подбор сечения, определение допускаемой нагрузки (грузоподъемности) различными методами. Случай неравномерного распределения нормальных напряжений в местах резкого изменения поперечных сечений бруса. Концентрация напряжений и коэффициент концентрации. Влияние концентрации напряжений на прочность при статической нагрузке.
Аренда и продажа вертолетов Прочность и разрушение материалов и конструкций