Консольная балка Расчет на прочность Формула Мора Концепция устойчивости Практический инженерный метод расчёта Продольно-поперечный изгиб упругого стержня Энергетический метод Определение удлинений и сдвигов Механизм разрушения

Сопромат расчеты на прочность

Понятие о пространственном напряженном состоянии Составляющие вектора напряжений и их обозначения на координатных площадках трехмерного тела. Понятие о главных напряжениях в трехмерном теле. Экстремальные значения касательных напряжений. Компоненты деформации. Объемная деформация. Закон Гука при пространственном напряженном состоянии. Удельная потенциальная энергия. Энергия изменения объема и энергия изменения формы.

Энергетический метод определения критических нагрузок

 Энергетический метод представляет собой один из способов определения критических нагрузок. Пусть согласно методу проб Эйлера сжатый силами Р стержень не вернулся в исходное состояние равновесия (рис. 9.51).

 а) б) 

 Рис. 9.51

 При этом подвижная шарнирная опора переместится на величину так, что сила Р совершит работу  а стержень выпучится (изогнётся). Энергия изгиба:

   

 Учитывая, что  получим:

  (9.167)

 Рассмотрим элемент стержня ВС = dz. Этот элемент к моменту потери устойчивости уже сжат, и при упругом изгибе его длина не меняется. После изгиба элемент ВС займёт положение В/С/ = dz. Поэтому укорочение стержня ВС по направлению z будет:

  

 Сближение концов стержня при потере устойчивости:

   (9.168)

 Работа, совершаемая силой Р, определится соотношением:

 

 Приравнивая выражение (9.167), (9.168), получим:

  (9.169)

 Если точная функция прогибов стержня известна, то значение критической силы находится просто. Для шарнирно опёртого стержня  что даёт известную формулу:

   

 В общем случае функция прогибов V неизвестна, и её задают приближённо. Пусть, например, в той же задаче  

Тогда

 

 Как видно, при приближённом задании прогиба, удовлетворяющем граничным условиям, критическое значение силы больше, чем при точном задании прогиба.

 Можно показать в общем случае, что по сравнению со всеми функциями прогиба V(z), удовлетворяющим граничным условиям, истинная функция прогиба даёт минимальное значение Ркр.

 Пример. Найти критическую силу для сжатой колонны (рис. 9.54).

 Граничные условия для данной задачи имеют вид: 

  при z = 0. 

 Примем для прогиба выражение:

   (1)

удовлетворяющее граничным условиям. Сохраним  в (1) два члена ряда:

  (2)

 После подстановки выражения прогиба (2) в (9.164) и интегрирования, получим:

 Рис. 9.52 

  (3)

 Если выражение прогиба положим С1= 0, т.е. сохраним только один член, то найдём минимальное значение силы Р, равное:

  

что даёт погрешность по отношению к точному значению  равную 21,6%.

 При двух значениях постоянных С0, С1 минимальное значение Р найдём, дифференцируя (3) по С1/С0 и приравнивая выражение к нулю:

 

или

 

откуда

  или 

 Наименьшее значение критической силы даёт первый корень:

   ,

что отличается от точного решения только на 0,92 %.

Устойчивость упругого стержня в условиях неограниченной ползучести Ползучесть некоторых полимерных материалов в установившейся стадии является нелинейной и описывается при вязкоупругих деформациях законом

Устойчивость плоской формы изгиба балок Балка, изогнутая в своей плоскости, может потерять устойчивость своей плоской формы изгиба при некотором критическом значении внешней нагрузки и выпучиться в сторону

Колебаниями упругих систем называют их повторяющиеся, периодические движения, которые они совершают около своего статического положения равновесия. Поведение конструкций и машин при их колебательных движениях требует особого внимания инженеров. Известны случаи, когда строительные сооружения или машины, рассчитанные с большим запасом на статическую прочность, разрушались под действием сравнительно небольших периодически действующих сил вследствие резонанса, либо, так называемой, колебательной неустойчивости.

Собственные колебания упругих систем с конечным числом степеней свободы

Пример 2. Определить частоту собственных крутильных колебаний вала длиной  с диском массы m на конце

б) Определим главные центральные моменты инерции Iu и Iv по формулам (12), (13):

Iu=Imax=3445,0 + 2585,6 = 6030,6 см4

Iv=Imin=3445,0 - 2585,6 = 859,4 см4

Максимальное расхождение составляет:

.

в) Должно удовлетворяться условие (14):

5607,6 + 1282,4 » 6029,8 + 856,0 » 6030,6 + 859,4

6890,0 » 6885,8 » 6890,0

Расхождение составляет:

.

5. Определение моментов сопротивления сечения.

Наиболее удаленными точками от осей u и v являются точки A и B:

 

17

для швеллера , т.к. оси z1 и y2 являются для швеллера главными центральными; для уголка  согласно решению примера 5 [7].

3) По формуле (8) Определяем угол a0 наклона главных центральных осей u и v относительно центральных осей zc, yc:

 

Поскольку угол a0 отрицательный, он откладывается по ходу часовой стрелки, а т.к. , то поворотом оси z на угол, меньший 45°, мы получим направление главной центральной оси u, относительно которой главный момент инерции максимален Iu=Imax.

Изгиб Изгиб прямого бруса в главной плоскости. Внешние силы, вызывающие изгиб. Виды нагрузок. Опоры и опорные реакции. Внутренние силовые факторы в поперечных сечениях бруса при изгибе: изгибающий момент и поперечная сила. Чистый и поперечный изгиб. Дифференциальные зависимости между изгибающим моментом, поперечной силой и интенсивностью распределенных нагрузок. Эпюры изгибающих моментов и поперечных сил. Нормальные напряжения при чистом изгибе. Основные допущения. и.
Прочность и разрушение материалов и конструкций