Консольная балка Расчет на прочность Формула Мора Концепция устойчивости Практический инженерный метод расчёта Продольно-поперечный изгиб упругого стержня Энергетический метод Определение удлинений и сдвигов Механизм разрушения

Сопромат расчеты на прочность

Геометрические характеристики поперечных сечений Осевой, полярный и центробежный моменты инерции. Зависимость для осевых и полярных моментов инерции. Осевые моменты инерции для прямоугольника, треугольника, круга и кольца. Зависимость между моментами инерции для параллельных осей. Изменение осевых и центробежных моментов инерции при повороте координатных осей. Главные оси инерции.

Механизм хрупкого разрушения.

 Простейшая модель разрушения Гриффитса

Большую роль в разрушении реальных материалов имеют те или иные дефекты (неоднородность материала, поры, трещины, надрезы, повреждения поверхности). Особая роль среди этих дефектов принадлежит микротрещинам. При малых нагрузках эти трещины безопасны, так как не обнаруживают тенденции к расширению. При больших нагрузках они могут оказаться неустойчивыми, способными к быстрому росту, слиянию друг с другом и образованию магистральных трещин, приводящих к разрушению конструкций. Есть много примеров катастрофического разрушения газопроводов, корпусов судов, мостов, самолетов, ракет в результате трещинообразования. Это свидетельствует о недостаточности оценки прочности с помощью традиционных подходов по упругому или пластическому состоянию конструкций.

В 1920 году Гриффитс в работе "Явление разрушения и течения твердого тела" показал, что низкая реальная прочность хрупких материалов вызывается наличием трещин, приводящих к значительной концентрации напряжений.

Пусть тонкая пластинка из хрупкого материала равномерно растягивается в одном направлении напряжениями. Трещину будем моделировать математическим разрезом нулевой толщины. Пусть в пластине имеется такая трещина длиной, ориентированная перпендикулярно направлению растяжения (рис. 12.8). Длина трещины считается малой по сравнению с размерами пластинки  Опыт показывает, что начиная с некоторого значения qс трещина – разрез начинает расширяться или развиваться.

 

 Рис. 12.8

На рис.12.9,а показана эпюра нормальных напряжений в сечении, совпадающем по направлению с трещиной, т.е. при y = 0, определяемая формулой:

  (12.13) 

При  напряжение Вертикальное перемещение верхнего края разреза или берега определяется формулой

  (12.14)

т.е. разрез превращается в вытянутый эллипс (рис.12.9,б).

Можно с помощью указанного точного решения задачи методами теории упругости показать, что при  напряжения производят следующую работу по раскрытию трещины (рис.12.9).

  (12.15)

Если q достигает критического значения qс , то трещина трогается и начинает развиваться. При этом произойдет освобождение упругой энергии на величину  Она должна превратиться в иной вид энергии, идущей на образование свободной поверхности трещины. Гриффитс ввел понятие о поверхностной энергии натяжения. Обозначим удельное значение этой энергии через. Тогда поверхностная энергия трещины:

  (12.16)

 Рис. 12.9 

Полная энергия

  

 При равновесном расширении трещины

 

откуда получим формулу Гриффитса:

  (12.17)

Эта формула при заданной длине трещины  определяет критическое напряжение qс (рис. 12.9а), приводящее к расширению трещины. При

q < qс длина трещины  остается неизменной, пока не достигнуто значение qс. После этого происходит динамический процесс развития трещины. Трещина Гриффитса является примером неустойчивой трещины.

 Рис. 12.10

Из формулы (12.17) следует:

 

Величину

  (12.18)

называют коэффициентом интенсивности напряжений. Величина k1 является константой, характерной для данного материала. Ее можно трактовать так же, как силу расширения трещин. Трещина начнет расширяться, если достигнет критического значения,  как показал Ирвин (1957 г.).

При рассмотрении трещины Гриффитса предполагается, что материал остается идеально упругим, вплоть до разрушения. В действительности в процессе увеличения нагрузки наблюдается медленный рост трещины от

начальной длины  (рис. 12.9,б). В вершине трещины в силу очень большой концентрации напряжений возникнет пластическая деформация. Затрачиваемая на нее удельная работа  для идеально хрупкого разру-шения. Например, для стали формула Гриффитса с учетом пластической деформации может быть переписана в виде

  , 

откуда

  (12.19)

 Образование пластических зон около трещины препятствует ее развитию. Эту способность называют трещиностойкостыо. Рассмотренный выше тип трещины называется трещиной отрыва. Кроме рассмотренного типа трещин могут быть еще два основных типа, называемых поперечной и продольной трещинами сдвига.

 Рассмотрим случай (рис. 12.11,а) пластинки с трещиной поперечного сдвига, подвергающейся чистому сдвигу. Коэффициент концентрации напряжений в этом случае: 

  (12.20)

В случае трещины продольного сдвига при  (рис.12.11,б) коэффициент интенсивности

   (12.21)

 

 Рис. 12.11

Для каждого из трех типов трещин критерий разрушения записывается в виде

  (12.22)

где  - критические значения коэффициентов интенсивности (12.18) –

(12.21) напряжений, являющиеся постоянными материала и характеризующие его трещиностойкость.

Критические значения коэффициентов  подлежат экспериментальному определению, наиболее опасной является трещина нормального отрыва, причем

Рассмотрим теперь неоднородное напряженное состояние и малую окрестность точки О на конце трещины. Введем локальные полярные координаты  для произвольной точки А в окрестности точки О в плоскости трещины x1 , x2. Для напряжений в этой точке А в общем случае нагружения тела справедливо представление :

 (12.23)

где Кm определены формулами (12.18) – (12.22).

 Напряжения являются линейной суперпозицией трех независимых состояний  соответствующих трем основным типам трещин.

При  все напряжения в вершине трещины .

 Рис. 12.12

 

  На самом деле напряжения ограничены, и у вершины возникают пластические зоны.

  Функции  дают угловое распределение напряжений, множитель - радиальное. Следовательно, распределение напряжений в окрестности вершины трещины не зависит ни от размера, ни от формы разреза-трещины, ни от геометрии тела, ни от величины и характера внешних сил. От всех этих величин зависят коэффициенты интенсивности ,

которые, в свою очередь, не зависят от координат  . Таким образом, коэффициенты полностью характеризуют перераспределение  от изменения отмеченных выше факторов, являясь их количественными характеристиками.

Конкретный вид зависимостей коэффициентов от внешних сил, геометрических характеристик тела и трещины определяются из решения конкретных задач методами теории упругости для тел с разрезами.

 а) б) в)

 Рис. 12.13

Рассмотрим несколько примеров, используемых в лабораторном практикуме (рис.12.13). Здесь через  обозначена базовая длина образцов между захватами или опорами испытательной установки, через 2h - длина надреза, - длина начальной трещины, создаваемой предварительным знакопеременным нагружением, t- толщина плоского образца, в - ширина образца.

Решение задач методами теории упругости приводит соответственно к формулам для коэффициентов интенсивности напряжений:

 (12.23) 

 

В табл.12.1 приведены значения критических интенсивностей напряжений для некоторых материалов

 Значения критических интенсивностей

 для некоторых материалов

 Таблица 12.1

Величина  характеризует размер пластической зоны. Обычно считают, что если, то материал обладает низкой трещино-стойкостью. Из таблицы видно, что легированные стали, алюминиевые сплавы обладают низкой трещиностойкостью. В то же время стали низкой и средней прочности обладают высокой трещиностойкостью. Расчет на прочность материалов первого типа надежнее производить по условию:

   (12.24)

 где n - некоторый коэффициент запаса на трещиностойкость.

В целом раздел сопротивления материалов о хрупком разрушении (механика разрушения) бурно развивается и еще далек от завершения.

Условия пластичности и разрушения материалов Условия (критерии) пластичности и разрушения являются важными обобщениями понятий пределов текучести и прочности при одноосном  растяжении (сжатии) на случай сложного напряжённого состояния

Теория прочности Мора (1860г.) Согласно этой теории нарушение прочности происходит тогда, когда на некоторой площадке с нормальювозникает наиболее неблагоприятная комбинация нормального и касательного напряжений.

Прочность материалов при переменных напряжениях Многие элементы конструкций и деталей машин работают в условиях переменных, циклически изменяющихся напряжений.

На усталостную прочность значительное влияние оказывают концентрация напряжений, масштабный фактор и качество обработки поверхности элемента (детали). Рассмотрим по отдельности влияние этих факторов.

Расчет стопорной собачки.

Из конструктивных соображений выберем:

- длина собачки l=70 мм;

- ширина в =5 мм;

- прогибающая деформация f=hxp=2 мм.

В качестве материала выберем бронзу БРОФ 6,5-0,15 с параметрами:

Е=105 (МПа

Рассчитаем толщину собачки по формуле:

,

Имеем   (мм),

Выберем высоту собачки h = 2 мм,

Рассчитаем напряжение в опасном сечении:

,

;

Условие прочности выполняется.

Определение перемещений (прогибов и углов поворота) при изгибе Дифференциальное уравнение оси изогнутого бруса. Точное и приближенное уравнение кривизны. Непосредственное интегрирование дифференциального уравнения. Граничные условия. Метод начальных параметров. Определение перемещений и углов поворота в балках при помощи общей формулы Мора. Определение перемещений бруса переменного сечения.
Прочность и разрушение материалов и конструкций