Физика Кинематика примеры решения задач

Тригонометрические и
гиперболические
подстановки
Физические приложения интегралов
Примеры вычисления производной
Сборочная единица
Сопряжение
Конструкторская документация
Позиционные и метрические
задачи
Рисование средствами PageMaker
Создание новой публикации
Шаблоны
Специальные эффекты
Верстка книг
Цветное оформление публикации
Назначение цвета
Корректура
Сотрудничество с типографией
Администрирование доменов
Средства безопасности
Альбом по схемотехнике
Офисный пакет Word, Access,
Excel практика использования
Технологии программирования
Кластерные вычисления
кластерный компьютер
Типичный кластер
Коммуникационное программное обеспечение
Интерфейс передачи сообщений
Аппаратные метрики
Приемы повышения производительности
масштабируемая система
Двоичные числа
Двоичная арифметика
Программирование на языке ассемблера
Процессор 8088
Адресация сегментов данных
Режим адресации
арифметические команды
Условные переходы
Вызовы подпрограмм
Ассемблер
Команды трассера
Технологии доступа к данным
Сервер баз данных
Сервер приложения
Клиент многозвенного распределенного приложения
Генератор отчетов
Технологии программирования
Потоки и процессы

Кинематика движения материальной точки и абсолютно твердого тела.

Положение точки в пространстве можно задавать с помощью радиус-вектора, проводимого из начала координат к точке. В декартовых координатах радиус-вектор r записывается следующим образом:

r = x×ex + y×ey + z×ez. (1.1)

Мгновенная скорость материальной точки равна

V = . (1.2)

Вектор перемещения точки за промежуток времени между моментами t1 и t2 может быть найден так:

При описании движения абсолютно твердого тела используются следующие соображения. Любое плоское движение твердого тела можно представить как комбинацию поступательного и вращательного движений.

  При поступательном движении, когда все точки тела движутся по одинаковым траекториям, можно пользоваться формулами, определяющими кинематику материальной точки.

При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям вокруг общей оси с одинаковыми угловыми скоростями. Поэтому для описания вращательного движения удобно пользоваться угловыми характеристиками.

Необходимо подчеркнуть, что разложение движения на поступательное и вращательное может быть произведено бесконечным числом способов. Ось вращения может быть выбрана произвольно. При этом какую ось мы бы ни выбрали для описания движения, угловая скорость будет иметь одно и то же значение. В ряде случаев удобно выбирать эту ось так, чтобы она проходила через центр масс тела.

Зависимость скорости от времени получим, диф-ференцируя равенство (8):

. (9)

Полученные зависимости представлены графически на рисунке и имеют ясный физический смысл, который мы предлагаем продумать читателю самостоятельно.

Лодка пересекает реку с постоянной относительно воды и перпендикулярной берегам скоростью Vотн = 0,3 м/с. Ширина реки равна H = 63 м. Скорость течения изменяется по параболическому закону , где y – расстояние от берега, u0 – константа, равная 5 м/с. Найти снос лодки L вниз по течению от пункта ее отправления до места причаливания на противоположном берегу.

Задача

Точка А находится на ободе колеса радиуса R, которое катится без проскальзывания с постоянной скоростью V0 по горизонтальной плоскости. Найти скорость точки А, написать уравнение траектории (в параметрической форме), по которой движется точка А и её путь за один оборот колеса.

Решение

Рассмотрение будем вести относительно системы отсчёта, связанной с Землей. Систему координат расположим, как это показано на рисунке. Движение обруча – плоское. В частности оно может быть представлено как совокупность поступательного перемещения со скорость движения оси колеса V0 и вращения с угловой скоростью  относительно неё.

Атом в молекуле, совершая так называемые “маятниковые колебания”, движется по дуге окружности радиуса R по закону S = S0coswt (S – длина дуги). Найти полное ускорение атома в точках S = 0 и S = ±S0. R = 10-7 см, S0 = 10-8 см и w = 1013 с-1.

Частица движется по круговой орбите радиуса R так, что зависимость угла поворота радиус-вектора от времени имеет вид: j(t) = a + bt - ct2. Найти зависимость от времени: 1) угловой скорости, 2) линейной скорости, 3) тангенциального ускорения, 4) нормального ускорения и 5) полного ускорения частицы.

Шар вращается вокруг оси, проходящей через его центр с помощью электромотора с частотой n = 1800 об/мин. После выключения электромотора шар, вращаясь равнозамедленно, совершил N = 150 оборотов и остановился. Сколько времени прошло с момента выключения до остановки.

Зависимость координат частицы от времени имеет вид: x = А×cosωt, y = А×sinωt и z = 0 (А и ω - константы). Определить радиус-вектор r, скорость V и ускорение а частицы, а также их модули.

а) Найти скалярное произведение векторов r и V. Что означает полученный результат?

б) Найти скалярное произведение векторов r и а. Что означает полученный результат?

в) Записать уравнение траектории частицы.

г) В каком направлении движется по траектории частица?

д) Охарактеризовать движение частицы.

Примеры решения задач

Небольшой металлический шарик массы m = 4 мг помещен в высокий сосуд с водой и отпущен без толчка. Считая, что сила сопротивления воды пропорциональна скорости движения шарика (r = 9×10-6 Н×с/м), найти закон изменения скорости шарика от времени V(t).

Решение.

Укажем, прежде всего, все силы, действующие на шарик: mg – сила тяжести, FА – архимедова сила, Fс – сила сопротивления (вязкого трения) со стороны воды. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй. Поскольку движение является одномерным, достаточно использовать всего одну координатную ось Z, направленную вертикально вниз (см. рис.).

Однородное электрическое  (Е = 300 В/м) и магнитное (В = 10-4 Тл) поля направлены взаимно перпендикулярно. Каковы должны быть направление и величина скорости электрона, чтобы его траектория была прямолинейной?

Решение.

Движение электрона будет прямолинейным в случае, если у него отсутствует ускорение или оно совпадает по направлению с вектором начальной скорости электрона. Последний случай не может быть реализован, т.к. со стороны магнитного поля на движущуюся заряженную частицу действует сила Лоренца:

,

где V – скорость движения частицы, q – её заряд. Как видим, эта сила направлена перпендикулярно вектору скорости. Ускорение электрона может быть равно нулю, если сила Лоренца окажется скомпенсирована силой, действующей на электрон со стороны электрического поля – Fe = qE. Часто как раз силу, действующую на заряженную частицу в одновременно существующих электрическом и магнитном полях, называют обобщенной силой Лоренца:

Выберем инерциальную систему отсчёта связанную с Землёй. Направим одну из координатных осей этой системы отсчёта горизонтально вдоль поверхности стола (OX) и другую – перпендикулярно к ней (OY). Укажем на рисунке все силы, действующие на груз и доску в условиях данной задачи. Далее запишем уравнения движения груза и доски в проекциях на выбранные оси координат:

Задачи для самостоятельного решения.

Воздушный шар массы M опускается с постоянной скоростью. Какое количество балласта Δm надо выбросить. Чтобы шар начал подниматься с той же скоростью? Подъемную силу F шара считать известной и постоянной.

Оценить частоту вращения и ускорение электрона в атоме водорода в модели Бора, приняв радиус орбиты r = 10-10 м. Заряд электрона e = 1,6·10-19 Кл, масса электрона me = 9,1·10-31 кг. Электрическая постоянная системы СИ ε0 = 8,85·10-12 Ф/м.

Электрон движется в магнитном поле, индукция которого В = 2·10-3 Тл, по винтовой линии с радиусом R = 2 см и шагом h = 5 см. Определить скорость электрона.

Каковы нормальное и тангенциальное ускорения электрона, который движется в совпадающих по направлению электрическом и магнитном полях? Рассмотреть два случая: 1) скорость электрона направлена вдоль полей и 2) скорость электрона направлена перпендикулярно к ним.

Динамика движения твердого тела.

При поступательном движении твердого тела все его точки движутся по одинаковым траекториям и в любой момент времени имеют одинаковые кинематические характеристики. Поэтому для описания движения центра масс можно использовать второй закон Ньютона так же, как это рекомендовалось в предыдущем разделе.

Для описания движения твердого тела, имеющего закрепленную ось (Z), применяется основной закон динамики вращательного движения твердого тела:

Izb = Nz . (3.1)

Здесь Iz – момент инерции твердого тела относительно оси Z, b – угловое ускорение и Nz – суммарный момент внешних сил относительно той же оси вращения. Записанный закон является аналогом второго закона Ньютона, но для вращательного движения. Расшифруем величины, входящие в этот закон.

Моментом инерции материальной точки относительно оси Z называется величина

Для моментов инерции плоского тела справедлива теорема:

Iz = Ix + Iy , (3.6)

где X, Y и Z взаимно перпендикулярные оси, Ix , Iy и Iz – моменты инерции тела относительно этих осей. При этом ось Z перпендикулярна плоскости тела, а само тело расположено в плоскости XOY.

 Физический смысл момента инерции – это мера инертности тела при вращательном движении.

Определение момента силы относительно точки О:

N = [r,F], (3.7)

где r – радиус-вектор проведенный из точки О в точку приложения силы F. При решении задач полезным бывает запись выражения для момента силы относительно оси – проекции вектора N на ось, проходящую через точку О:

Nz = R×F^. (3.8)

Здесь R – расстояние от оси до точки приложения силы, F^ – составляющая силы, перпендикулярная оси вращения и радиус-вектору r.

Примеры решения задач

Найти момент инерции тонкого кольца относительно оси, лежащей в плоскости кольца и проходящей через его центр. Масса кольца m = 0,2 кг, диаметр кольца D = 0,6 м.

Решение.

  Предложим два способа решения задачи. Первый основан на прямом использовании определения момента инерции, второй – на применении теоремы о моменте инерции плоских тел (см. задачу 3.6) и результате вычисления момента инерции кольца относительно оси, перпендикулярной его плоскости (см. задачу 3.5).

а) Разобьём кольцо на малые элементы массы Dmi – кусочки дуги окружности. Положение элемента удобно характеризовать углом, который образует радиус вектор, соединяющий центр кольца и данный элемент массы с осью. По определению момент инерции кольца относительно оси равен:

Задача

 «Машина Атвуда» (прибор для изучения законов равнопеременного движения) представляет собой систему с двумя грузами одинаковой массы M, связанными нитью перекинутой через массивный блок радиуса R (см. рис.). Если на один из грузов положить небольшой грузик m, то система придёт в ускоренное движение. Пусть экспериментально измеренное ускорение оказалось равным a. Определить по этим данным момент инерции блока I. Считать, что невесомая и нерастяжимая нить не скользит по блоку, а сам блок вращается без трения.

Решение

Выберем инерциальную систему отсчета, связанную с Землёй. Укажем все силы, действующие на грузы и блок. Т.к. нам предстоит рассмотреть поступательное движение грузов и вращательное движение блока, одну координатную ось направим вертикально вниз (ОХ), а другую (OZ) – перпендикулярно плоскости рисунка от нас вдоль оси блока. Тогда в проекциях на эти оси соответствующие уравнения движения будут иметь вид:

Задача

Найти ускорение центра масс шара массой m, скатывающегося по наклонной плоскости образующей угол с горизонтом. Коэффициент трения скольжения между поверхностью шара и наклонной плоскостью равен m.

Решение

В качестве системы отсчёта выберем Землю, одну из осей неподвижной декартовой системы отсчёта направим вдоль направления движения шара, т.е. параллельно плоскости (см. рис.)

 Силы, действующие на шар изображены на рисунке. Для центра масс шара уравнения динамики имеют вид:

, (1)

may = N – mg×cosa , ay = 0, (2)

Относительно оси, проходящей через центр масс, момент имеет только сила трения :

(Задача о «послушной катушке») На горизонтальной поверхности лежит катушка с намотанной на нее ниткой. Катушка движется по поверхности без проскальзывания. Найти ускорение центра катушки. Массу катушки m, ее момент инерции I относительно собственной оси и угол α считать заданными. При каком угле α катушка останется неподвижной?

Задачи для самостоятельного решения.

Найти момент инерции тонкого стержня относительно оси, проходящей через его середину и образующей угол a со стержнем. Масса стержня m, его длина l.

Вывести формулу для вычисления момента инерции тонкого обруча относительно оси, проходящей через центр обруча перпендикулярно его плоскости.

Доказать, что для любого плоского тела Iz = Ix + Iy, где X, Y и Z – взаимно перпендикулярные оси, причем оси X и Y лежат в плоскости тела, а ось Z перпендикулярна телу. Ix, Iy и Iz – моменты инерции относительно осей X, Y и Z соответственно.

Вывести формулу для вычисления момента инерции однородного диска относительно оси, проходящей через его центр и направленной перпендикулярно плоскости диска. Масса диска m, радиус R.

Вычислить момент инерции тонкого однородного диска относительно оси, проходящей через центр диска и лежащей в его плоскости. Масса диска m = 2 кг, радиус диска R = 0,4 м.

Показать, что момент инерции двухатомной молекулы относительно оси, проходящей через центр масс молекулы перпендикулярно ее оси можно вычислять по формуле Iz = ml2,

Работа и энергия.

Работа силы.

Элементарной работой называется скалярное произведение вектора силы на элементарное перемещение материальной точки:

dA = (F,dl). (4.1)

Работа на участке траектории  между точками 1 и 2 вычисляется суммированием (интегрированием) элементарных работ:

Кинетическая энергия. 

Кинетическая энергия Т материальной точки равна

  . (4.6)

Кинетическая энергия системы материальных точек, в том числе и твердого тела,  равна сумме кинетических энергий точек, входящих в систему:

 . (4.7)

Кинетическая энергия твердого тела при поступательном движении записывается так же, как и для материальной точки.

Кинетическая энергия твердого тела, вращающегося вокруг фиксированной оси, как можно показать, оказывается равной

Примеры решения задач

Потенциальная энергия частицы, находящейся в центрально-симметричном силовом поле, имеет вид:

U(r) = а/r2 - b/r,

где a и b – положительные константы. а) Найти значение r0, соответствующее равновесному положению частицы, б) выяс-нить, устойчиво ли это положение, в) найти максимальное значение силы притяжения, г) изобразить графики зависимости U(r) и Fr(r) – проекции силы на радиус-вектор r.

Задачи для самостоятельного решения.

Тело массой m движется под действием постоянной силы F. Найти зависимость его кинетической энергии Т от времени, если начальная скорость тела равна нулю.

Маховик вращается с постоянной скоростью, делая n0 = 10 об/с; его кинетическая энергия T0 = 8·103 Дж. За какое время постоянный вращающий момент сил N = 50 Н·м, приложенный к этому маховику, увеличит его угловую скорость в два раза?

Какую работу надо совершить, чтобы увеличить частоту оборотов маховика от 0 до 120 об/мин? Массу маховика m = 0,5 т можно считать распределённой по ободу диаметром D = 1,5 м. Трение не учитывать.

Определить потенциальную энергию U сжатой пружины как функцию ее деформации x, считая, что упругая сила пропорциональна третьей степени величины деформации с коэффициентом пропорциональности b.

Законы сохранения импульса, энергии и момента импульса.

Элементы гидродинамики.

Закон сохранения импульса.

По определению, импульс материальной точки (МТ) равен:

 p = DmV, (5.1)

где Dm – масса МТ, а V – вектор ее скорости.

Закон сохранения механической энергии. 

Полной механической энергией e системы тел называется сумма потенциальной и кинетической энергий тел, входящих в систему:

 e = T + U. (5.7)

Будем считать, что потенциальная энергия обусловлена взаимодействием частиц друг с другом, а также с внешними стационарными полями. Тогда закон сохранения энергии может быть сформулирован следующим образом: если в системе тел и на систему действуют только консервативные силы, то полная механическая энергия этой системы постоянна во времени.

Изменение полной энергии системы равно работе неконсервативных сил, в частности, сил трения.

Примеры решения задач

Вертикальный столб длины l подпиливается у нижнего основания и падает, поворачиваясь вокруг опирающегося на землю нижнего конца. Какова линейная скорость центра масс столба в момент падения на землю?

Решение

Ответ на вопрос задачи можно искать двумя способами. В первом используется закон сохранения механической энергии, во втором – теорема о кинетической энергии. Конечно, отличие этих подходов определяется лишь выбором системы тел, включаемых в рассматриваемую систему.

а) Пусть система состоит из столба и Земли, на поверхность которой столб опирается нижним концом. Тогда сила тяготения между этими телами – внутренняя сила системы, а сама система замкнута (внешние силы не действуют). Так как сила гравитационного взаимодействия консервативна, а сопротив-лением воздуха мы будем пренебрегать, то полная механическая энергия системы не изменяется во времени вплоть до момента падения столба на землю (неупругий удар). Запишем равенство исходной энергии системы и механической энергии столба в произвольный момент времени до падения:

б) По теореме о кинетической энергии её изменение равно работе над телом внешней силы

DТ = А12.  (6)

Посмотрим, какой результат даёт применение этой теоремы к рассматриваемому случаю. В процессе падения столба его кинетическая энергия увеличивается благодаря действию момента силы притяжения Землёй. Проекция момента этой силы на ось Z равна . Работа силы при повороте твёрдого тела относительно оси равна

 .

При падении столба угол меняется от 0 до p/2. Следовательно:

 . (7)

Изменение кинетической энергии равно её значению в момент падения столба:

.  (8)

Сравнивая правые части выражений (7) и (8) получаем максимальную угловую скорость падения

(Крутильный баллистический маятник). К потолку на тонкой проволоке подвешен однородный деревянный стержень массы  M = 400 г (рис.). Модуль кручения проволоки равен D = 0,3 Н×м/рад. В конец стержня попадает пуля массы m = 10 г, летевшая горизонтально и перпендикулярно стержню. С какой скоростью летела пуля, если пуля застревает в стержне, и он поворачивается на максимальный угол 0 = 0,8 рад?

Решение

Два одинаковых цилиндрических бака соединены узкой трубкой с краном посредине. Радиус баков R = 20 см, радиус трубки r = 1 мм. Длина трубки l = 1 м. Проходное отверстие крана совпадает с сечением трубки. В один из баков налита вода до высоты h = 50 см, второй бак был вначале пустой. В момент времени t = 0 кран открывают. Определить: 1) характер течения воды в трубке в первые секунды, 2) время t, по истечении которого разность уровней воды в баках уменьшается в e раз. Вязкость воды принять равной h = 1·10-3 Па×с.

Решение:

Характер течения воды в трубке определяется числом Рейнольдса:

  (1)

Значение скорости воды V можно получить из формулы Пуазейля:

 (2)

где Q - объем воды, протекающий через поперечное сечение трубки за одну секунду. Выражая из последнего равенства V, получаем:

Задачи для самостоятельного решения.

Два протона с энергией T = 0,5 МэВ каждый летят навстречу друг другу и испытывают «лобовое столкновение». До какого минимального расстояния r они могут сблизиться, если учитывать только электрическое взаимодействие между ними? 

Груз положили на чашку весов без толчка. Сколько делений n0 покажет стрелка весов при первоначальном отбросе, если после успокоения качаний она показывает n1 = 5 делений. Весы можно представить себе в виде пружинного динамометра.

Движущаяся частица претерпевает абсолютно упругое столкновение с покоящейся частицей такой же массы. Доказать, что после столкновения, если оно не было лобовым, частицы разлетятся под прямым углом друг к другу. Как будут двигаться частицы после центрального удара?

Навстречу друг другу летят две частицы с массами m1 и m2. Между ними происходит неупругий удар. Известно, что кинетическая энергия первой частицы в n = 20 раз больше, чем у второй. При каком соотношении масс после удара частицы будут двигаться в сторону частицы с меньшей энергией?

Может ли произойти ионизация атома 133Cs ударом атома 16O с кинетической энергией T0 = 4 эВ? Энергия ионизации eион = 3,9 эВ.

Теорема Гаусса.

Основным законом электростатики является закон Кулона, устанавливающий силу взаимодействия F между двумя точечными зарядами q1 и q2 (размерами этих зарядов можно пренебречь по сравнению с расстоянием r между ними). В системе CИ закон Кулона записывается следующим образом:

 . (6.1)

Cила взаимодействия между зарядами направлена вдоль прямой, соединяющей эти заряды. При этом между одноименными зарядами возникает сила отталкивания, между разноименными – сила притяжения. Величина e0 = 8,85 × 10-12 Ф/м называется электрической постоянной, e - диэлектрическая проницаемость среды, окружающей эти заряды.

Примеры решения задач

Найти напряженность электрического поля, создаваемого равномерно заряженным тонким стержнем 5длиной 2a на рас-стоянии R от его середины. Плотность заряда на стержне l > 0.

Решение.

В этом примере воспользуемся принципом суперпозиции электрических полей и разобьём стержень на малые элементы dx (dx << R). Из точки А они представляются точечными зарядами величиной dq = ldx.

Напряженность электрического поля, создаваемого в точке А только этим элементом стержня определяется соотношением

Задача обладает цилиндрической симметрией, в соответствие с которой линии электрического поля могут представлять собой либо окружности в плоскости перпендикулярной стержню и с центрами на нём, либо иметь радиальное направление в указанной плоскости. С учётом свойств электростатического поля силовые линии не могут быть замкнутыми, следовательно, остаётся вариант с радиальным расположением (см. рис.).

Далее, нужно выбрать замкнутую поверхность интегри-рования S в (6.9), чтобы на её отдельных участках вектор Е был перпендикулярен нормали к поверхности, а на других параллелен ей и постоянен по модулю. Таким свойством обладает цилиндр, коаксиальный с рассматриваемым стержнем, который сверху и снизу закрыт круговыми основаниями (Sосн). Поток вектора Е через такую замкнутую поверхность:

Задача

Определить напряженность электрического поля Е на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска равна s.

Решение:

При решении этой задачи воспользуемся также принципом суперпозиции. Для этого диск разбивается на кольца радиуса r и шириной dr. Тогда для напряженности поля такого кольца dE(x) можно записать (см. задачу 6.3):

Задачи для самостоятельного решения.

Найти силу, действующую на точечный заряд q = 3×10-7 Кл, расположенный в центре равномерно заряженного полу-кольца радиуса R = 0,2 м и имеющего заряд Q = 10-5 Кл.

Определить напряженность электрического поля Е вдоль оси однородно заряженного тонкого прямого стержня длиной l = 0,5 м и зарядом q = 10-6 Кл на расстоянии х = 0,5 м от конца стержня.

Определить силу взаимодействия точечного заряда q c заземленной металлической пластинкой, находящейся на расстоянии а от заряда. Найти поверхностную плотность заряда s(r) на пластинке и полную величину индуцированного заряда Q на пластинке. r – расстояние от заряда до соответствующей точки поверхности пластинки. Размеры пластинки много больше расстояния а.

Полусфера заряжена равномерно с поверхностной плотностью заряда s. Определить напряженность электрического поля Е(0) в центре полусферы.

Определить, используя теорему Гаусса, напряженность электрического поля Е плоской системы зарядов с поверхностной плотностью заряда s.

Определить напряженность электрического поля E(r) цилиндрической системы зарядов с объемной плотностью заряда r; a) внутри и б) вне цилиндра. r – расстояние от оси цилиндра.

Определить напряженность электрического поля E(r) внутри и вне равномерно заряженного шара с объемной плотностью заряда r. r – расстояние от центра шара.

Потенциал. Электроёмкость.

Электростатическое поле является потенциальным, т.е. работа при перемещении пробного заряда q0 в этом поле не зависит от траектории и определяется лишь начальным (1) и конечным (2) положением заряда. Её можно выразить через координаты начальной и конечной точек траектории. Это делается с помощью разности потенциалов j1 – j2:

A12 = q0×(j1 – j2). (7.1)

Откуда

Dj = (j2 - j1) = - =  = - = . (7.2) Последнее равенство дает связь между напряженностью поля Е и потенциалом j :

E = – gradj. (7.3)

Знак “ – “ отражает тот факт, что напряженность поля Е направлена в сторону убывания потенциала j.

Потенциал поля точечного заряда.

Потенциал системы точечных зарядов.

По принципу суперпозиции полей потенциал системы точечных зарядов равен алгебраической сумме потенциалов полей, создаваемых в данной точке каждым зарядом в отдельности. Это очевидно, так как:

Е = Е1 + Е2 = – gradj1 – gradj2 = – grad (j1 + j2).

Следовательно, потенциал j0 поля, создаваемого системой точечных зарядов qi, равен

j0(r) = , (7.3)

где ri – длина радиус-вектора, проведенного от i-го заряда к точке поля с координатами r{x,y,z}.

Потенциал поля проводящей сферы.

Задача

Найти силу взаимодействия двух расположенных вдоль одной прямой диполей, отстоящих друг от друга на расстояние L >> l. Дипольные моменты диполей p1 и p2.

Решение

Сила взаимодействия диполей определяется по формуле:

  где 

Таким образом:  

Задача.

Найти потенциал в точках на оси тонкого равномерно заряженного диска радиуса R. Поверхностная плотность заряда диска s.

Решение:

Разбивая диск на кольца радиусом r и шириной dr и используя результат предыдущей задачи, можно записать выражение для dj, которое определяет вклад каждого кольца в суммарный потенциал поля диска:

,

где dq = 2pr×dr×s – заряд каждого кольца.

Тогда потенциал

Задача.

Определить емкость сферического конденсатора. Радиус внутренней сферы R1, внешней – R2. Пространство между сферами заполнено изолятором с диэлектрической проницаемостью e.

Решение:

При зарядке конденсатора зарядом q в слое между сферами появляется электрическое поле с напряженностью , где r – расстояние от центра сфер. Возникшее меду сферами напряжение определяется можно определить так:

.

Емкость конденсатора С выражается как коэффициент пропорциональности между зарядом и напряжением:

a) Могут ли силовые линии электрического поля (в той его части, где отсутствуют электрические заряды) пересекаться между собой? б) Могут ли пересекаться или соприкасаться эквипотенциальные линии (поверхности), соответствующие различным потенциалам?

Определить разность потенциалов Dj между двумя коаксиальными цилиндрами радиусов R1 и R2 (R2 > R1), заряженными равномерно с плотностью заряда на единицу длины l. Краевыми эффектами пренебречь.

Разность потенциалов между двумя коаксиальными цилиндрами c радиусами R1 и R2 равна U0. Выразить через U0 разность потенциалов U(r) между внутренним цилиндром радиуса R1 и точками, находящимися на расстоянии r от оси цилиндров (R1 < r < R2).

Накаленная нить катода радиолампы испускает электроны, которые под действием электрического поля ускоренно движутся к цилиндру, по оси которого натянута нить. Радиусы цилиндра и нити равны соответственно R1 = 5 мм и R2 = 0,05 мм. Напряжение между цилиндром и нитью U = 91 В. Пренебрегая начальной скоростью электронов, определить ускорение a и скорость электронов V в точке, отстоящей от оси нити на расстоянии r = 3,5 мм. Заряд электрона q = 1,6×10-19 Кл, его масса me = 9,1×10-31 кг.

Получить выражения для емкости: a) плоского конденсатора с площадью пластин S и расстоянием d между ними; б) цилиндрического (на единицу длины). Радиусы цилиндров R1 и R2; в) сферического конденсатора с радиусами сфер R1 и R2; R2 > R1. Конденсаторы заполнены диэлектриком с диэлектрической постоянной e.

Энергия электростатического поля.

Работа dА, совершаемая внешними силами при перемеще-нии заряда dq из бесконечности на уединенный проводник, равна , где C и j1 – электроемкость и потенциал проводника. Следовательно, полная работа при увеличении потенциала проводника от 0 до j, т.е. при сообщении проводнику заряда q = Cj, равна

. (8.1)

Соответственно, энергия заряженного уединенного проводника

. (8.2)

Энергия заряженного конденсатора (энергия электрического поля конденсатора)

, (8.3)

где С и q – электроёмкость и заряд конденсатора, U – разность потенциалов его обкладок Dj.

Примеры решения задач

 Заряд q = 1 мкКл равномерно распределен по объему шара радиуса R = 1 см. Рассчитать

энергию электрического поля U1 в окружающем шар пространстве;

энергию U2, заключенную в пространстве внутри шара;

полную энергию электрического поля U, связанную с шаром.

Какая часть энергии приходится на область пространства за пределами концентрической с шаром сферы радиуса R1 = 1 м.

Принять диэлектрическую проницаемость материала шара и окружающей среды равной e = 1.

Решение:

Объемная плотность энергии электрического поля определяется выражением (8.4). И спользуя теорему Гаусса, легко получить напряженность электрического поля. Вне шара она равна:

Задачи для самостоятельного решения.

Определить энергию электрического поля U проводящего шара радиуса R, несущего заряд q. Чему равен радиус сферы, в пределах которой заключено 90% всей энергии поля.

Определить радиус сферы R0,9, в пределах которой заключено 90% всей энергии поля проводящей сферы заряда q, радиуса R.

а) Получить выражение для энергии W электрического поля плоского конденсатора емкости С, заряженного до разности потенциалов U. б) Получить выражение для плотности энергии w электрического поля напряженностью Е.

Заряд q = 10-10 Кл распределяется равномерно по объему шара радиусом R = 1 см. Затем, вследствие взаимного отталкивания заряды переходят на поверхность шара. Какую работу А совершают при этом электрические силы над зарядами? Считать e = 1.

Какая часть энергии h, связанная с шаром радиуса R0 = 1 см, заряженного по поверхности, заключена в пределах сферы, концентрической с шаром, радиуса R = 1 м?

Точечный заряд q = 3 мкКл помещается в центре шарового слоя из однородного и изотропного диэлектрика с e = 3. Внутренний радиус слоя а = 0,25 м, внешний b = 0,5 м. Найти энергию U электрического поля, заключенную в пределах диэлектрика.

Законы постоянного тока.

Силой тока I называется скалярная физическая величина, равная отношению заряда dq, проходящего через поперечное сечение проводника за малый промежуток времени dt, к величине этого промежутка:

.  (9.1)

Электрический ток называется постоянным, если сила тока и его направление не изменяются с течением времени. Для постоянного тока

,  (9.2)

где q – электрический заряд, переносимый через сечение проводника за конечный промежуток времени t.

Напряжением U12 на участке цепи 1-2 называется физическая величина, численно равная работе, совершаемой результирующим полем кулоновских и сторонних сил при перемещении вдоль цепи из точки 1 в точку 2 единичного положительного заряда:

Правила Кирхгофа.

Первое правило Кирхгофа (“правило узлов”): алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю:

,  (9.9)

где n – число проводников, сходящихся в узле, Ii – ток в узле. Положительными считаются токи, входящие в узел, отрицательными – токи, выходящие из узла.

Второе правило Кирхгофа (“правило контуров”): в любом замкнутом контуре, произвольно выбранном в разветвленной электрической цепи, алгебраическая сумма падений напряжений IiRi равна алгебраической сумме ЭДС в данном контуре:

Задав для определенности направление тока I контуре по часовой стрелке, можно записать закон Ома для участка цепи, содержащего ЭДС: j1 - j2 = I×(R1 + R2) - e2. Значение силы тока I получается из закона Ома для полной цепи с учетом направления включения источников тока: I = .

Окончательно получается: Мы получили j1 < j2 – ток течет в направлении повышения потенциала в цепи. К такому, казалось бы, странному результату приводит присутствие ЭДС e2 между точками 1 и 2. Понять это можно, построив ход потенциала j между этими точками (см. рисунок).

Задачи для самостоятельного решения.

Участок цепи представляет тело вращения из однородного материала с удельным сопротивлением r, длиной l. Площадь поперечного сечения тела зависит от координаты х по закону S(x). Найти сопротивление R этого участка.

Радиусы обкладок сферического конденсатора равны а и b (a < b). Пространство между обкладками заполнено веществом с проницаемостью e и удельной проводимостью s. Первоначально конденсатор не заряжен. Затем внутренней обкладке сообщается заряд q0. Найти: а) закон изменения заряда q на внутренней обкладке, б) количество тепла Q, выделившееся при растекании заряда.

Две квадратные пластины со стороной а, закрепленные на расстоянии d друг от друга (а >> d), образуют плоский конденсатор, подключенный к источнику постоянного напряжения U. Расположенные вертикально пластины погружают в сосуд с керосином со скоростью V. Проницаемость керосина e. Найти силу тока I, текущего при этом по подводящим проводам.

Между обкладками плоского конденсатора помещена параллельно им медная пластинка, толщина которой равна 1/3 зазора между пластинами. Емкость конденсатора в отсутствие пластины С = 0,025 мкФ. Конденсатор подключен к источнику тока с напряжением U = 100 В. Определить: а) работу А1, которую надо совершить, чтобы извлечь пластинку из конденсатора; б) работу А2, совершаемую при этом источником тока. Нагреванием пластинки пренебречь.

По участку цепи с сопротивлением R течет постоянный ток силы I. Может ли при этом разность потенциалов на концах участка равняться нулю?

Длинный проводник с током силой I изогнут под прямым углом. Найти магнитную индукцию в точке А, находящейся на расстоянии R от точки изгиба на продолжении одного из перпендикулярных участков проводника (см. рис.).

Решение

Действуя аналогично предыдущей задаче, разобьем проводник на элементы тока. Очевидно, угол a меняется в пределах от 0 до p/2 лишь для вертикального (по рис.) участка. Напротив, для горизонтального участка он постоянен и равен p. Это означает, что данный участок не создает магнитного поля в точке А (cosa = 0). Выражение для индукции поля, создаваемого каждым элементом тока вертикального участка записывается так же, как и в предыдущей задаче (10.4). Остается лишь просуммировать соответствующие векторы с учетом оговоренного выше диапазона изменения угла a. Модуль вектора магнитной индукции для этого случая равен

Задача

По прямому цилиндрическому проводу, радиус сечения которого R, течет постоянный ток плотности j. Найти индукцию магнитного поля как вне, так и внутри этого провода. Влиянием магнитной проницаемости вещества провода пренебречь.

Решение

Отметим, прежде всего, что закон изменения индукции с расстоянием, вероятно, различен для области пространства вне и внутри проводника. Применим теорему о циркуляции дважды, выбрав соответствующие контура – окружности с радиусом r большим и меньшим, чем радиус R цилиндрического проводника с током, соответственно.

Однослойный соленоид имеет длину l = 0,5 м и число витков N = 1000. Найти индукцию магнитного поля в центре соленоида, если ток в обмотке равен I = 1 А.

Решение

Прежде чем применять рассмотренный выше подход (теорему о циркуляции) сделаем некоторые заключения о структуре поля соленоида. Катушка состоит из большого количества одинаковых витков с током, каждый из которых дает свой вклад в результирующее магнитное поле. При этом для каждого витка найдется симметрично ему расположенный по отношению к плоскости, перпендикулярной к оси катушки (О1О2, см. рис.). Сумма векторов индукции от симметричных витков в любой точке этой плоскости дает вектор параллельный оси соленоида. Итак, направление векторов может быть только параллельным оси катушки как вне, так и внутри неё.

Два прямолинейных длинных проводника расположены параллельно на расстоянии l = 5 см  друг от друга. По проводникам текут токи I1 = I2 = 10 A в противоположных направлениях. Найти величину и направление индукции магнитного поля В в точке, находящейся на расстоянии R = 5 см от каждого из проводников.

По двум прямолинейным параллельным длинным проводникам, расстояние между которыми l = 20 см текут токи I1 = 40 A и I2 = 80 A в одном направлении. Найти величину и направление индукции магнитного поля В в точке, находящейся По двум прямолинейным параллельным длинным проводникам, расстояние между которыми l = 20 см текут токи I1 = 40 A и I2 = 80 A в одном направлении. Найти величину и направление индукции магнитного поля В в точке, находящейся на расстоянии r1 = 12 см от первого проводника и от второго – на R2 = 16 см.

Закон Ампера. Сила Лоренца.

Сила Ампера.

Силовое действие магнитного поля на проводники с током определяется законом Ампера:

  (11.1)

здесь dF - сила, действующая на элемент dl тока силой I со стороны магнитного поля В в том месте, где располагается участок проводника dl. Направление этой силы определяется по правилу “левой руки”. Полная сила, действующая на проводник конечной длины вычисляется, как обычно, суммированием (интегрированием) “элементарных воздействий”.

Задача

Протоны движутся в однородном магнитном поле циклотрона по дуге окруж­ности радиусом R = 10 м. При этом поле имеет индукцию B = 2 Тл и направлено перпендикулярно плоскости движения частиц. Пучок протонов попадает на заземленную мишень. Найти силу тока в пучке, если тепловая мощность, выделяющаяся в мишени, составляет Р = 2 Вт. Отношение заряда протона к его массе равно q/m = 108 Кл/кг.

Решение

Движение протонов по окруж­ности обусловлено действием силы Лоренца со стороны магнитного поля, сообщающей протону центростремительное ускорение. По 2-му закону Ньютона:

qVB = . (1)

Кинетическая энергия каждого протона 

Задача

Вдоль линий индукции однородного магнитного поля из одной точки вылетают электроны со скоростью V, имея малый угловой разброс d. Определите, на каком расстоянии от места вылета пучок будет иметь минимальный поперечный размер. Индукция магнитного поля В. Масса электрона тe, его заряд – е.

Решение

Электрон, скорость которого образует угол d с направлением магнитного поля В, движется по винтовой линии. Разложим вектор скорости электрона на две составляющие: V½½ = V×cosd » V, направленную вдоль линий магнитной индукции и V^ = V×sind » V×d – перпендикулярную к ним. Период движения электрона по спирали T – время прохождения одного витка определяется из уравнения движения с учётом выражения для силы Лоренца:

Укрепленную на одном коромысле весов небольшую катушку К с числом витков N = 100 поместили внутрь соленоида (см. рис.) Площадь сечения катушки S = 1 см2, длина плеча коромысла l = 20 см. В отсутствие тока в катушке весы уравновешены. После того как через катушку пустили ток I = 50 мА, для восстановления равновесия пришлось изменить груз на чаше весов на Dm = 50 мг. Найти индук­цию магнитного поля в месте нахождения катушки.

Определите силу, приходящуюся на единицу длины, с которой взаимодействуют в вакууме два параллельных очень длинных проводника с током силой I1 = I2 = 1 А. Расстояние между проводниками равно а = 1 м.

Проволочная катушка поставлена на горизонтальной плоскости так, что её ось вертикальна. Система находится в однородном горизонтальном магнитном поле с индукцией В. Масса катушки m, число витков N, радиус R. Какой ток следует пропустить по катушке, чтобы она опрокинулась?

Электрон со скоростью V = 107 м/с влетает в область однородного магнитного поля с индукцией В = 10-3 Тл. Скорость перпендикулярна линиям индукции поля и направлена под углом a = 30° к плоской границе поля. Определите максимальную глубину h проникновения электрона в область магнитного поля. Отношение заряда электрона к его массе g = 1,76×1011 Кл/кг.

Электромагнитная индукция.

Явление электромагнитной индукции (ЭМИ) состоит в возникновении электрического тока в проводящем контуре при изменении магнитного потока через поверхность, ограниченную этим контуром. Закон электромагнитной индукции устанавливает, что ЭДС индукции пропорциональна скорости изменения этого магнитного потока:

.  (12.1)

Знак минус соответствует договоренности обозначать направ-ление индукционного тока, определяемое по правилу Ленца: индукционный ток направлен так, чтобы его магнитное поле препятствовало изменению внешнего магнитного потока. ЭДС считается положительной, если направление индукционного тока составляет с вектором положительной нормали к контуру «правовинтовую систему».

Напомним, что магнитным потоком через поверхность S называется величина

Будем пренебрегать сопротивлением прутьев и скользящих контактов, а также самоиндукцией контура. Под действием силы тяжести перемычка начнет скользить вниз. Магнитный поток, пронизывающий контур, образованный перемычкой и П-образными «рельсами», очевидно, будет при этом нарастать (см. рис.). Собственное магнитное поле возникающего в контуре индукционного тока, по правилу Ленца, препятствует нарастанию внешнего магнитного потока, т.е. направлено навстречу полю В. Направление тока находим по правилу правого винта («буравчика») – против часовой стрелки (см. рис.). На перемычку, по которой протекает ток, действует сила Ампера (см. гл.13). По правилу «левой руки» находим, что эта сила направлена вертикально вверх и тормозит падение перемычки. Качественно ясно, что ускорение перемычки при этом постепенно уменьшается, а её скорость через некоторое время перестаёт расти. Найдём закон изменения скорости перемычки V(t). Запишем для этого уравнение её движения в проекции на ось Z, а также очевидные соотношения для силы Ампера и ЭДС индукции:

Задачи для самостоятельного решения.

Проволочная квадратная рамка со стороной а и с сопротивлением R (рис.). О днородное магнитное поле направлено перпендикулярно к пло­скости рамки за чертеж. В каком направлении будет протекать по рамке индукционный ток

а) при увеличении индукции поля до значения В,

б) при её уменьшении,

в) какой заряд q протечет по рамке при выключении поля?

Сквозь горизонтально расположенное проводящее кольцо падают с одинаковой высоты алюминиевый брусок и магнит. Что упадет первым? Дать объяснение.

В знаменитом опыте Ньютона пробка, дробинка и перышко одинаково падают в отсутствии силы сопротивления воздуха – внутри вакууммированной стеклянной трубки. Как изменятся результаты эксперимента, если дробинку заменить на небольшой намагниченный шарик, а откачанную трубку сделать металлической и достаточно длинной. Считать, что шарик падает вертикально по оси трубки. Описать и объяснить характер движения шарика. Сравнить с видом решения задачи

По П-образной рамке скользит с постоян­ной скоростью V под действием силы F перемычка. Контур находится в перпендикуляр­ном к его плоскости однородном магнитном поле. Чему равна сила F, если в контуре выделяется каждую секунду количество тепла Q?

В однородном магнитном поле с индукцией В = 0,02 Тл равномерно вращается вокруг вертикальной оси горизонтальный стержень длиной l = 0,5 м. Ось вращения проходит через конец стержня параллельно линиям магнитной индукции. Определить угловую скорость вращения стержня, при которой на концах стержня воз­никает разность потенциалов U = 0,1 В.

Самоиндукция. Взаимоиндукция.

Энергия магнитного поля.

Явление электромагнитной индукции предполагает появление в проводящем контуре дополнительной ЭДС также и при изменении собственного магнитного потока контура (обусловленного током в самом контуре) – ЭДС самоиндукции. Из закона Био–Саварра–Лапласа (см. 10.1) следует, что магнитная индукция в любой точке пространства пропорциональна силе тока в контуре, следовательно, с учетом (12.2) собственный магнитный поток контура также пропорционален ей:

Двухпроводная линия состоит из двух длинных проводов радиуса а = 0,5 мм, расположенных в воздухе параллельно друг другу на расстоянии b = 10 мм. Найти индуктивность L1, приходящуюся на единицу длины этих проводов. Магнитную проницаемость материала проводов и окружающей среды принять равной единице.

Длинная двухпроводная линия питания нагрузки с сопротивлением R = 10 Ом обладает индуктивностью L = 0,1 мГн. Найти закон нарастания силы тока в нагрузке при замыкании цепи. Определить время нарастания тока t1 и t2 до значений 0,5I0 и 0,75I0 соответственно, где I0 – установившееся значение силы тока в цепи. Сравните эти значения.

Катушка с индуктивностью L = 10 Гн подключена к источнику тока через сопро­тивление R = 10 Ом. Найти закон уменьшения силы тока в цепи с течением времени I(t), если источник тока замкнуть накоротко ключом К (см. рис.). Определить, за какое время tN сила тока уменьшится в N = 100 раз.

Программирование на языке ассемблера